Les lois discrètes et le risque

Ce que le chapitre précédent a posé

Les quatre lois qui suivent décrivent toutes une variable aléatoire, c'est-à-dire un nombre attaché au résultat d'une expérience, et se caractérisent par deux indicateurs : l'espérance, la valeur moyenne sur un très grand nombre de répétitions, et la variance, la dispersion autour de cette valeur. Les trois notions sont définies dans Probabilités, et elles sont supposées connues à partir d'ici.

Loi de Bernoulli : une seule tentative

Un essai à deux issues (une épreuve de Bernoulli) : succès avec la probabilité $p$, échec avec $1 - p$. On note $X \sim B(p)$ la variable qui vaut 1 en cas de succès et 0 sinon.

En clair : sur un essai qui ne vaut que 1 ou 0, la valeur moyenne est exactement la probabilité du succès, et la dispersion est le produit des deux probabilités, celle du succès par celle de l'échec.

C'est la brique élémentaire : les lois qui suivent se construisent en répétant des épreuves de Bernoulli.

Loi binomiale : compter les succès

La formule se lit de droite à gauche, en trois morceaux. $p^k$ est la probabilité des $k$ succès, et $(1 - p)^{n-k}$ celle des $n - k$ échecs qui les accompagnent. $C(n, k)$ compte le nombre de façons de disposer ces succès parmi les $n$ essais. Le coefficient binomial $C(n, k) = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$, aussi noté $\binom{n}{k}$, est ce compteur de dispositions ; le reste du produit est la probabilité d'une de ces configurations. L'espérance $np$ se lit tout aussi simplement : $n$ essais réussissant chacun avec la probabilité $p$ donnent $np$ succès en moyenne.

Cette formule n'a rien d'arbitraire, et il suffit de compter pour la retrouver.

Pour désigner les $k$ essais qui seront des succès, il y a $n$ choix pour le premier, $n - 1$ pour le deuxième, et ainsi de suite jusqu'à $n - k + 1$ pour le dernier. Cela fait

façons de les choisir en les ordonnant. Or l'ordre ne compte pas : dire « les jours 1, 3 et 4 » ou « les jours 4, 1 et 3 » désigne la même configuration. Chaque configuration a donc été comptée autant de fois qu'il y a de façons d'ordonner $k$ éléments, soit $k!$ fois.

En divisant par ce surcomptage, il reste $\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.

La figure suivante prépare l'exercice qui la suit : cinq jours, une probabilité de 0,6 par jour. Les bâtons pleins sont les cas « au moins 3 », et leur somme est la réponse.

Le bâton le plus haut est celui de 3, qui est aussi l'espérance $np = 5 \times 0{,}6$ : la loi se masse autour de sa moyenne. Ce qu'il faut voir ensuite, c'est que les trois bâtons pleins pèsent à eux seuls plus de la moitié de la hauteur totale, ce qui annonce une réponse supérieure à 0,5 avant même le calcul.

Le calcul à la main d'abord, la bibliothèque ensuite pour contrôler, jamais l'inverse.

Et la même chose avec scipy, plus la loi complète en image :

La même probabilité de succès, mais trente essais au lieu de cinq. Comparer les deux figures, en regardant uniquement la largeur du paquet de bâtons par rapport à l'axe.

Loi géométrique : attendre le premier succès

La binomiale fixe le nombre d'essais et compte les succès. La question inverse est au moins aussi fréquente en exploitation : le nombre d'essais n'est plus connu d'avance, et c'est lui que l'on cherche.

$X$ compte le nombre d'essais jusqu'au premier succès inclus, chaque essai réussissant avec la probabilité $p$ :

avec $E(X) = 1/p$ et $V(X) = (1 - p)/p^2$.

En clair : pour que le premier succès tombe au $k$-ième essai, les $k - 1$ essais précédents doivent tous avoir échoué, chacun avec la probabilité $1 - p$. Le $k$-ième réussit ensuite, avec la probabilité $p$. L'espérance $1/p$ se lit de même : un essai qui réussit une fois sur dix demande dix essais en moyenne.

D'un rang au suivant, la probabilité est multipliée par $1 - p$ : les $P(X = k)$ forment une suite géométrique de raison $1 - p$, d'où le nom de la loi (voir le chapitre sur les suites).

C'est la loi du « combien de tentatives avant que ça marche » : relances d'une requête réseau, essais d'un mot de passe, redémarrages avant qu'un service reparte.

La figure prend un cas plus difficile, un essai qui ne réussit qu'une fois sur quatre. Regarder d'abord le premier bâton, puis la longueur de la traîne à sa droite.

Les deux lectures ne se contredisent pas. Le rang le plus fréquent est 1, parce qu'aucun autre rang ne demande d'échec préalable ; le rang moyen est 4, parce que la traîne de droite, rare mais longue, tire la moyenne vers le haut. Un délai d'expiration se règle sur la traîne, jamais sur le premier bâton.

Loi de Poisson : compter des événements rares

Les trois lois précédentes comptent des essais : une tentative, $n$ tentatives, des tentatives jusqu'au succès. Or un serveur ne reçoit pas des essais, il reçoit des arrivées, à n'importe quel instant. Il faut donc une loi qui compte sans jamais énumérer d'essais.

C'est la loi des arrivées : requêtes sur un serveur, connexions par minute, pannes par an, paquets perdus par heure. Elle apparaît naturellement comme limite d'une binomiale quand $n$ est grand et $p$ petit, avec $\lambda = np$.

Cette filiation explique l'égalité $E(X) = V(X)$, qui sinon paraîtrait tombée du ciel. Une binomiale $B(n, p)$ a pour espérance $np$ et pour variance $np(1-p)$. En posant $\lambda = np$, la variance s'écrit $\lambda(1-p)$. Quand $p$ devient très petit, le facteur $(1-p)$ tend vers 1, et la variance rejoint l'espérance.

C'est cette queue qu'il faut regarder sur la figure suivante, et non le sommet.

Aucun bâton n'est exactement nul, si loin que la figure aille vers la droite. C'est ce qui interdit de dimensionner sur la moyenne : une capacité fixée à $\lambda$ laisse toujours des bâtons au-delà d'elle, et chacun d'eux est un intervalle saturé.

Voir la binomiale, Poisson et la loi normale se rejoindre

La binomiale, la loi de Poisson et la loi normale (une loi continue, en cloche) ne sont pas trois objets sans rapport. Elles décrivent la même expérience sous trois éclairages, et dans certaines conditions elles se confondent. Le bloc ci-dessous les superpose.

À mettre en pratique. Modifier N et P en gardant leur produit constant, par exemple N = 500 et P = 0.008 : la binomiale et la loi de Poisson se superposent de plus en plus. Reprendre ensuite avec N = 50 et P = 0.5 : cette fois c'est la courbe normale qui épouse les bâtons.

La loi normale, et le passage au continu

Sur une loi continue, une probabilité n'est plus une hauteur mais une aire. C'est le changement de nature le plus important du chapitre, et il se voit mieux qu'il ne s'explique.

C'est la seule loi continue du programme, et de loin la plus fréquente en pratique : elle décrit toute grandeur résultant de l'accumulation de nombreux petits aléas indépendants (une erreur de mesure, une cote d'usinage, un bruit électrique).

Sa densité est la fameuse courbe en cloche, symétrique autour de μ. Ici, $P(X = a) = 0$ pour toute valeur : seules les probabilités d'intervalles ont un sens.

Pour utiliser une table, on centre et on réduit : on pose $Z = (X - \mu )/\sigma$, qui suit alors la loi normale centrée réduite $N(0, 1)$. On lit ensuite $P(Z \leq z)$ dans la table. La symétrie donne $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$, ce qui évite d'avoir besoin des valeurs négatives.

Traduire une question de risque

Voici un exercice classique, plus subtil qu'il n'y paraît : la probabilité de stabiliser avec succès le réseau un jour donné est de 0,7 ; calculer le risque si la tâche est tentée pendant 4 jours.

Le contrôle par simulation, qui ne remplace pas le calcul mais le confirme :

Choisir la bonne loi

Exercices type

La méthode

1. Écrire l'événement en français avant tout calcul. « Au moins un échec sur les quatre jours », cette phrase précède le premier symbole.
2. Nommer la variable aléatoire et sa loi : $X$ = nombre de jours dégagés, $X \sim B(5 ; 0{,}6)$.
3. Vérifier les conditions de la loi qu'on invoque, en particulier l'indépendance. Si elle est douteuse, le dire et poursuivre.
4. Passer par le contraire dès qu'on lit « au moins un ».
5. Donner espérance et écart-type ensemble : l'un dit où ça se passe, l'autre à quel point c'est incertain.
6. Conclure en langage métier avec une unité concrète : « une seconde sur sept », « 80 paquets par jour », pas « 0,1429 ».

Synthèse

• Expérience aléatoire, événement, probabilité : un événement est une partie de l'univers $\Omega$, et une probabilité lui associe un nombre entre 0 et 1.
• Écrire l'événement en français avant le premier symbole : « le risque » ne désigne aucun événement précis.
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ : le réflexe du contraire résout la moitié des exercices.
• Indépendance : $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. C'est une hypothèse à justifier, pas un acquis.
• Bayes retourne le conditionnement. Sur un événement rare, un détecteur excellent produit surtout des faux positifs.
• $E(aX + b) = aE(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2V(X)$.
• Bernoulli $B(p)$ : un seul essai. $E = p$, $V = p(1 - p)$, maximale en $p = 0{,}5$.
• Binomiale $B(n, p)$ : $k$ succès sur $n$ essais fixés. $P(X = k) = C(n, k)\,p^k(1-p)^{n-k}$, $E = np$, $V = np(1-p)$.
• Géométrique : essais jusqu'au premier succès. $E = 1/p$.
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : événements rares dans un intervalle. $E = V = \lambda$.
• On dimensionne sur la queue de distribution, jamais sur la moyenne.
• Une simulation confirme un calcul à sa précision près, jamais au-delà : elle ne le remplace pas.