Les suites

Ce qu'est une suite

u₀ est le premier terme (parfois u₁, lis l'énoncé), u₁ le deuxième, et ainsi de suite. La suite entière se note (u_n).

Les deux façons de définir une suite

Forme explicite : une formule qui donne directement u_n en fonction de n.

u_n = 3n + 2 → on calcule u₁₀₀ = 302 immédiatement.

Forme par récurrence : un premier terme, plus une règle qui donne chaque terme à partir du précédent.

u₀ = 1 et u_(n+1) = 2u_n + 3 → pour avoir u₁₀₀, il faut passer par les 100 précédents.

Les suites arithmétiques

C'est le modèle de la croissance à pas constant : un salaire augmenté de 50 € par an, une hauteur d'eau qui monte de 2 cm par heure.

Terme général : on ajoute r exactement n fois pour aller de u₀ à u_n :

u_n = u₀ + n r

et plus généralement, entre deux rangs quelconques : u_n = u_p + (n − p) r.

Somme des termes : la formule à retenir sous forme parlée :

S = (nombre de termes) × (premier terme + dernier terme) / 2

C'est la moyenne du premier et du dernier, multipliée par le nombre de termes. Cas classique : 0 + 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2.

Reconnaître une suite arithmétique : calculer u_(n+1) − u_n et constater que le résultat ne dépend pas de n.

Les suites géométriques

C'est le modèle de la croissance (ou décroissance) proportionnelle : un capital à 3 % (q = 1,03), une population qui double (q = 2), un signal atténué de moitié (q = 0,5).

Terme général :

u_n = u₀ × q^n

Somme des termes (pour q ≠ 1) :

u₀ + u₀q + u₀q² + … + u₀q^n = u₀ × (1 − q^(n+1)) / (1 − q)

Reconnaître une suite géométrique : calculer le rapport u_(n+1) / u_n et constater qu'il ne dépend pas de n.

Le comportement de q^n, à connaître par cœur

C'est ce tableau qui décide de la limite de toute suite géométrique.

Le cas |q| < 1 est celui de tous les phénomènes qui s'éteignent : décharge d'un condensateur, amortissement d'une oscillation, décroissance radioactive.

Sens de variation

Trois méthodes, à choisir selon la tête de la suite :

1. Étudier le signe de la différence u_(n+1) − u_n. La méthode générale, celle qui marche toujours. Positive → croissante.

2. Comparer le rapport u_(n+1)/u_n à 1. Réservée aux suites à termes strictement positifs : c'est une condition, pas un détail. Rapport > 1 → croissante. Pratique quand la suite contient des puissances ou des factorielles, car tout se simplifie.

3. Étudier la fonction associée. Si u_n = f(n) avec f définie sur les réels positifs, alors le sens de variation de f donne celui de la suite. Attention : cela ne fonctionne que pour les suites explicites, jamais pour les suites par récurrence.

Exemple travaillé. u_n = n² − 5n.

u_(n+1) − u_n = (n+1)² − 5(n+1) − n² + 5n = 2n + 1 − 5 = 2n − 4

Ce nombre est négatif pour n < 2, nul pour n = 2, positif ensuite. La suite décroît jusqu'au rang 2, puis croît. Elle n'est donc pas monotone, et c'est une réponse parfaitement valable.

Majorée, minorée, bornée

Ce sont des propriétés faciles à énoncer et faciles à rater : il faut que l'inégalité soit vraie pour tous les rangs, pas seulement pour les premiers.

Un majorant n'est pas unique : si M convient, tout nombre plus grand convient aussi. On demande souvent « montrer que la suite est majorée par 3 ». Il s'agit alors de démontrer u_n ⩽ 3 pour tout n, généralement par récurrence.

Limites

Les limites de référence

Les formes indéterminées

Quatre situations où on ne peut pas conclure directement, et où il faut transformer l'expression :

∞ − ∞    0 × ∞    ∞/∞    0/0

La technique de référence pour un quotient de polynômes : factoriser par le terme dominant.

Exemple : u_n = (3n² + 2n − 1) / (n² − 5). On factorise n² en haut et en bas :

u_n = n²(3 + 2/n − 1/n²) / n²(1 − 5/n²) = (3 + 2/n − 1/n²) / (1 − 5/n²)

Les n² se simplifient, tous les termes en 1/n tendent vers 0, et il reste 3/1 = 3.

Opérations sur les limites

Elles se comportent comme on l'espère : la limite d'une somme est la somme des limites, celle d'un produit le produit des limites, sauf dans les quatre cas indéterminés ci-dessus.

Les deux théorèmes de l'épreuve

Théorème de la limite monotone

C'est le résultat le plus utilisé du chapitre, et il a une particularité qu'il faut comprendre : il prouve l'existence de la limite sans en donner la valeur. On l'utilise donc toujours en deux temps :

1. montrer que la suite est monotone (souvent par récurrence) ;
2. montrer qu'elle est bornée du bon côté (souvent par récurrence aussi) ;
3. conclure qu'elle converge, puis chercher séparément la valeur de la limite.

Corollaire utile : une suite croissante et non majorée tend vers +∞.

Théorème des gendarmes

L'image : deux gendarmes qui encadrent un suspect et l'emmènent au même endroit. Le suspect ne peut aller nulle part ailleurs.

Il sert surtout à traiter les suites contenant un cos n ou un sin n, dont on ne connaît pas la limite mais dont on sait qu'elles restent entre −1 et 1.

Exemple travaillé. u_n = (cos n)/n.

On sait que −1 ⩽ cos n ⩽ 1. En divisant par n (positif, donc le sens des inégalités est conservé) :

−1/n ⩽ u_n ⩽ 1/n

Les deux gendarmes tendent vers 0, donc lim u_n = 0.

Suites arithmético-géométriques

C'est le type d'exercice le plus fréquent au semestre 1, parce qu'il combine tout le chapitre.

Elle n'est ni arithmétique (à cause du a) ni géométrique (à cause du b). La méthode standard consiste à fabriquer une suite auxiliaire qui, elle, est géométrique.

La méthode, en trois temps :

1. Chercher le point fixe ℓ : le nombre qui vérifie ℓ = aℓ + b, donc ℓ = b/(1−a). C'est la valeur qui, une fois atteinte, ne bouge plus, et c'est aussi la limite éventuelle.
2. Poser v_n = u_n − ℓ et montrer que (v_n) est géométrique de raison a. Le calcul : v_(n+1) = u_(n+1) − ℓ = a u_n + b − (aℓ + b) = a(u_n − ℓ) = a v_n ✓
3. Conclure : v_n = v₀ a^n, donc u_n = ℓ + (u₀ − ℓ) a^n.

Exemple travaillé. u₀ = 1, u_(n+1) = 0,5 u_n + 3.

1. Point fixe : ℓ = 0,5ℓ + 3 → 0,5ℓ = 3 → ℓ = 6.
2. v_n = u_n − 6 est géométrique de raison 0,5, avec v₀ = 1 − 6 = −5.
3. v_n = −5 × 0,5^n, donc u_n = 6 − 5 × 0,5^n.
4. Comme |0,5| < 1, le terme en 0,5^n tend vers 0 : lim u_n = 6.

Et le résultat se lit : la suite part de 1 et monte vers 6 sans jamais l'atteindre. Le point fixe est bien la limite.

Le raisonnement par récurrence

C'est l'outil de démonstration attitré des suites définies par récurrence. Il se rédige toujours dans le même ordre, et le correcteur attend les trois parties.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Calcule les trois ou quatre premiers termes. Toujours. Ils révèlent la nature de la suite et te donnent un contrôle sur le résultat final.
2. Teste la nature : différence constante → arithmétique ; rapport constant → géométrique ; forme a u_n + b → arithmético-géométrique.
3. Pour un quotient de polynômes, factorise par le terme dominant.
4. Pour un cos n ou un sin n, pense gendarmes.
5. Pour une suite par récurrence, pense récurrence : monotone + bornée → converge.
6. Contrôle final : injecte ton u_n explicite pour n = 0, 1, 2 et compare aux termes calculés à l'étape 1. C'est le meilleur détecteur d'erreur du chapitre.
7. Si la suite converge vers ℓ et vérifie u_(n+1) = f(u_n), alors ℓ vérifie ℓ = f(ℓ). C'est ainsi qu'on trouve la valeur de la limite.

En résumé

• Explicite u_n = f(n) : calcul direct. Récurrence u_(n+1) = f(u_n) : il faut dérouler.
• Arithmétique : u_(n+1) = u_n + r, u_n = u₀ + nr. Somme = (nb de termes) × (premier + dernier)/2.
• Géométrique : u_(n+1) = q u_n, u_n = u₀ q^n. Somme = u₀(1 − q^(n+1))/(1 − q).
• Limite de q^n : 0 si |q| < 1, +∞ si q > 1, pas de limite si q ⩽ −1.
• Variation : signe de u_(n+1) − u_n, ou rapport comparé à 1 (termes positifs uniquement).
• Formes indéterminées : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0. Pour un quotient de polynômes : factoriser le terme dominant. Pour une différence de racines : quantité conjuguée.
• Limite monotone : croissante + majorée → converge (sans donner la limite).
• Gendarmes : encadrer, les deux bornes vers la même limite.
• Arithmético-géométrique u_(n+1) = a u_n + b : point fixe ℓ = b/(1−a), puis v_n = u_n − ℓ est géométrique de raison a.
• Récurrence : initialisation, hérédité, conclusion. Les trois, toujours.

Et ensuite ? L'épreuve d'Analyse du même semestre commence avec l'Étude d'une fonction : limites, dérivée, convexité, la version continue de ce que tu viens de faire pas à pas.