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mathsÉtude d'une fonction d'une variable

Étude d'une fonction d'une variable

Objectifs du Chapitre

Déterminer un domaine de définition et calculer des limites, y compris dans les formes indéterminées.

Reconnaître les asymptotes verticales, horizontales et obliques.

Dériver n'importe quelle fonction usuelle, un produit, un quotient, une composée.

Dresser un tableau de variations complet et en déduire les extremums.

Étudier la convexité avec la dérivée seconde et localiser les points d'inflexion.

Écrire l'équation d'une tangente et faire une approximation affine.

Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour justifier l'existence d'une solution.

Où on va
Étudier une fonction, c'est répondre à quatre questions dans l'ordre : où est-elle définie, que devient-elle aux bords, où monte-t-elle et où descend-elle, et de quel côté est-elle courbée. Au bout de ces quatre questions on sait tracer la courbe sans jamais avoir calculé plus de trois points, et surtout on sait où est le maximum, ce qui est la vraie question quand on dimensionne une pièce, un signal ou un coût. Ce chapitre couvre le bloc Étude 1D de l'épreuve d'analyse du semestre 1 (40 minutes, sur feuille).

Domaine de définition

Avant tout calcul, il faut savoir où la fonction existe. Trois interdits, et ce sont toujours les mêmes :

Ce qu'on voitLa condition
un quotient A/BB ≠ 0
une racine carrée √AA ⩾ 0
un logarithme ln AA > 0

Note bien la différence entre la racine (qui accepte 0) et le logarithme (qui le refuse). C'est une source d'erreur classique.

Exemple. f(x) = ln(x − 2)/(x − 5) est définie pour x > 2 et x ≠ 5, soit sur ]2 ; 5[ ∪ ]5 ; +∞[.

Limites

Une limite répond à la question : « quand x s'approche de a, vers quoi f(x) s'approche-t-elle ? »

Les limites de référence

En +∞En 0⁺
x^n → +∞1/x → 01/x → +∞ln x → −∞
e^x → +∞ln x → +∞
e^(−x) → 0√x → +∞

Les croissances comparées

C'est le résultat qui débloque la moitié des exercices. Il dit qui gagne quand deux infinis s'affrontent :

Croissances comparées

L'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme.

  • e^x / x^n → +∞  (l'exponentielle l'emporte)
  • ln x / x^n → 0  (la puissance l'emporte)
  • x^n e^(−x) → 0  et  x ln x → 0 quand x → 0⁺
À retenir
Retiens la hiérarchie dans l'ordre : ln ≪ puissances ≪ exponentielle. Face à une forme indéterminée qui mêle deux de ces familles, c'est celle de droite qui impose la limite.

Les formes indéterminées

Quatre, les mêmes que pour les suites : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. Elles ne signifient pas « pas de limite » mais « la règle habituelle ne suffit pas ». Les techniques de sortie :

  • quotient de polynômes → factoriser par le terme de plus haut degré ;
  • différence de racines → multiplier par la quantité conjuguée ;
  • exponentielle contre polynôme → croissances comparées ;
  • forme 0/0 en un point → factoriser numérateur et dénominateur par (x − a), puis simplifier.

Exemple travaillé. lim (x² − 4)/(x − 2) quand x → 2. C'est du 0/0. On factorise : (x−2)(x+2)/(x−2) = x + 2, qui tend vers 4.

Asymptotes

Une asymptote est une droite dont la courbe se rapproche indéfiniment.

  • Verticale en x = a : si lim f(x) = ±∞ quand x → a. La droite est x = a.
  • Horizontale : si lim f(x) = L quand x → ±∞. La droite est y = L.
  • Oblique : si f(x) − (ax + b) → 0 quand x → ±∞. La droite est y = ax + b.

Pour trouver une asymptote oblique, on calcule a = lim f(x)/x, puis b = lim (f(x) − ax). Autre voie, souvent plus rapide sur une fraction rationnelle : faire la division euclidienne. Par exemple f(x) = (x² + 1)/x = x + 1/x : le terme 1/x s'efface à l'infini, donc y = x est asymptote oblique, et on le lit directement.

Dérivée

Définition

Le nombre dérivé de f en a est la limite, quand h tend vers 0, de (f(a+h) − f(a)) / h. C'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, autrement dit la vitesse de variation instantanée de f en a.

Le tableau des dérivées usuelles

f(x)f'(x)f(x)f'(x)
k (constante)0ln x1/x
x1e^xe^x
x^nn x^(n−1)cos x−sin x
1/x−1/x²sin xcos x
√x1/(2√x)tan x1 + tan²x = 1/cos²x

Les règles de calcul

FormeDérivée
u + vu' + v'
k uk u'
u vu'v + uv'
u / v(u'v − uv') / v²
u^nn u' u^(n−1)
e^uu' e^u
ln uu' / u
√uu' / (2√u)
Les deux erreurs les plus fréquentes
Le quotient : c'est u'v − uv', avec un moins, et dans cet ordre. Inverser les deux termes donne le résultat opposé.
La composée : on n'oublie jamais le u' devant. La dérivée de e^(3x) est 3e^(3x), pas e^(3x).

Exemple travaillé. f(x) = x² e^(−x).

C'est un produit avec u = x² et v = e^(−x), donc u' = 2x et v' = −e^(−x).

f'(x) = 2x e^(−x) + x²(−e^(−x)) = e^(−x)(2x − x²) = x(2 − x) e^(−x)

Remarque la dernière étape : on factorise systématiquement la dérivée. Comme e^(−x) est toujours strictement positif, le signe de f' est celui de x(2 − x), un trinôme dont on lit les racines à vue. C'est cette factorisation qui rend le tableau de signes possible.

Variations et extremums

Théorème

Sur un intervalle, si f' > 0 alors f est croissante ; si f' < 0 alors f est décroissante ; si f' s'annule en changeant de signe, f admet un extremum local en ce point.

Le tableau de variations est la synthèse attendue sur la copie. Sa construction suit toujours le même ordre :

  1. Écrire la ligne des x, avec les bornes du domaine et les valeurs qui annulent f'.
  2. Écrire le signe de f' sur chaque intervalle (à partir de la forme factorisée).
  3. En déduire les flèches de f.
  4. Reporter les valeurs remarquables : limites aux bornes, valeurs des extremums.

Exemple travaillé, suite. f(x) = x² e^(−x) sur [0 ; +∞[, avec f'(x) = x(2 − x)e^(−x).

f' s'annule en 0 et en 2. Sur ]0 ; 2[, x > 0 et (2−x) > 0 donc f' > 0. Sur ]2 ; +∞[, (2−x) < 0 donc f' < 0.

x02+∞
f'(x)0+0−
f(x)0↗4e^(−2)↘0

La limite en +∞ vaut 0 par croissances comparées. La fonction admet donc un maximum en x = 2, qui vaut 4e^(−2) ≈ 0,54.

S'annuler ne suffit pas
Il faut que la dérivée change de signe. Pour f(x) = x³, f'(0) = 0 mais f' reste positive de part et d'autre : la fonction continue de croître et il n'y a pas d'extremum en 0, seulement une tangente horizontale.

Convexité

La variation dit si la courbe monte. La convexité dit comment elle monte : en s'accélérant ou en s'essoufflant.

Définition

f est convexe sur un intervalle si sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes (elle « tient l'eau », creux vers le haut) ; concave si elle est en dessous (creux vers le bas).

Théorème

f'' > 0 ⟺ f convexe.   f'' < 0 ⟺ f concave. Un point où f'' s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion : la courbe y change de courbure.

La lecture concrète
Convexe = la croissance s'accélère (ou la décroissance ralentit). Concave = la croissance s'essouffle. Une courbe peut très bien être croissante et concave : elle monte encore, mais de moins en moins vite. C'est exactement la forme d'un rendement décroissant ou d'une charge de condensateur.

Deux repères visuels : e^x est convexe partout, ln x est concave partout, x³ est concave avant 0 et convexe après (point d'inflexion en 0).

Exemple travaillé. f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3 et f''(x) = 6x.

f'' est négative avant 0, positive après : f est concave sur ]−∞ ; 0], convexe sur [0 ; +∞[, et le point (0 ; 0) est un point d'inflexion.

Tangente et approximation affine

Propriété

L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est :

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Elle se lit sans effort : on part de la hauteur f(a), et on avance avec la pente f'(a).

Cette tangente est aussi la meilleure approximation affine de f au voisinage de a :

f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x − a)   pour x proche de a

C'est ce qu'on appelle un développement limité à l'ordre 1, et c'est l'idée derrière presque toutes les linéarisations en physique.

Exemple travaillé. Approcher √4,1.

On prend f(x) = √x et a = 4. Alors f(4) = 2 et f'(x) = 1/(2√x), donc f'(4) = 1/4.

√4,1 ≈ 2 + 0,25 × 0,1 = 2,025

La valeur exacte est 2,0248…, l'erreur est inférieure à 3 pour 10 000. C'est le principe des approximations sin x ≈ x et (1+x)^n ≈ 1 + nx pour x petit, que tu retrouveras en physique.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Si f est continue sur [a ; b] et si k est compris entre f(a) et f(b), alors l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a ; b]. Si de plus f est strictement monotone, cette solution est unique.

L'usage sur une copie est très codifié. Pour montrer que f(x) = 0 a une solution unique sur [1 ; 2], on écrit les trois arguments :

  1. f est continue sur [1 ; 2] (elle est dérivable, donc continue) ;
  2. f est strictement croissante sur [1 ; 2] (d'après le tableau de variations) ;
  3. f(1) = −3 < 0 et f(2) = 5 > 0, donc 0 est bien encadré.

Conclusion : l'équation admet une unique solution dans ]1 ; 2[.

Ce théorème garantit l'existence sans donner la valeur. Pour approcher la solution, on procède ensuite par dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on regarde de quel côté le signe change, on recommence.

Le plan d'une étude complète

C'est l'ordre attendu en épreuve. Ne le déroule pas dans le désordre : chaque étape utilise la précédente.

  1. Domaine de définition : les trois interdits.
  2. Limites aux bornes du domaine, et asymptotes qui en découlent.
  3. Dérivée, calculée puis factorisée.
  4. Signe de f' et tableau de variations, avec les valeurs remarquables.
  5. Extremums : lecture directe du tableau.
  6. Dérivée seconde, convexité, points d'inflexion (si l'énoncé le demande).
  7. Tangentes en des points particuliers.
  8. Tracé de la courbe, cohérent avec tout ce qui précède.

Exercices type

1. Domaine de f(x) = √(x² − 9) / ln(x)

Trois conditions :

  • x² − 9 ⩾ 0 → x ⩽ −3 ou x ⩾ 3
  • x > 0 (logarithme) → élimine x ⩽ −3
  • ln x ≠ 0 → x ≠ 1, sans effet ici car on est déjà au-delà de 3

Domaine : [3 ; +∞[.

2. Limite de (e^x − 1)/x en 0

Forme 0/0. On reconnaît le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0 :

(e^x − e^0)/(x − 0) → f'(0) = e^0 = 1

3. Dériver f(x) = ln(x² + 1)

Forme ln u avec u = x² + 1, donc u' = 2x.

f'(x) = 2x/(x² + 1)

Le dénominateur est toujours strictement positif : le signe de f' est celui de x. La fonction décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[, avec un minimum f(0) = 0.

4. Tangente à f(x) = x³ − 2x au point d'abscisse 1

f(1) = 1 − 2 = −1 et f'(x) = 3x² − 2, donc f'(1) = 1.

y = 1 × (x − 1) − 1, soit y = x − 2.

5. Convexité de f(x) = x e^x

f'(x) = e^x + x e^x = (1 + x)e^x

f''(x) = e^x + (1+x)e^x = (2 + x)e^x

Comme e^x > 0, le signe de f'' est celui de (2 + x) : f est concave sur ]−∞ ; −2], convexe sur [−2 ; +∞[, avec un point d'inflexion en x = −2.

6. Approcher e^(0,05)

Avec f(x) = e^x et a = 0 : f(0) = 1, f'(0) = 1.

e^(0,05) ≈ 1 + 0,05 = 1,05 (valeur exacte : 1,0513).

C'est l'approximation e^x ≈ 1 + x pour x petit, omniprésente en physique.

En résumé

  • Domaine : dénominateur ≠ 0, radicande ⩾ 0, argument du log > 0.
  • Croissances comparées : ln ≪ x^n ≪ e^x. C'est ce qui tranche les formes indéterminées mêlant ces familles.
  • Formes indéterminées : factoriser le terme dominant, quantité conjuguée, ou factoriser par (x − a) pour un 0/0.
  • Asymptotes : verticale (limite infinie en a), horizontale (limite finie à l'infini), oblique (f(x) − ax − b → 0).
  • Dérivées : connaître le tableau, et les règles produit u'v + uv', quotient (u'v − uv')/v², composée u' × (dérivée de l'extérieur).
  • Toujours factoriser f' : c'est ce qui rend le tableau de signes lisible.
  • f' > 0 → croissante. f' s'annule en changeant de signe → extremum.
  • f'' > 0 → convexe. f'' change de signe → point d'inflexion.
  • Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a), qui sert aussi d'approximation affine.
  • TVI : continuité + monotonie + changement de signe → solution unique.

Et ensuite ? Le chapitre Primitives et intégration fait le chemin inverse : partir de la dérivée pour remonter à la fonction, et en déduire des aires.