Primitives et intégration

Où on va

Un compteur électrique ne mesure pas une puissance, il mesure une énergie : la puissance accumulée pendant toute la durée. Un débit donne un volume, une vitesse donne une distance, une densité donne une masse. À chaque fois, la même opération : accumuler une grandeur qui varie. C'est l'intégration, et son outil de calcul est la primitive, c'est-à-dire la dérivation prise à l'envers. Ce chapitre couvre le bloc Primitives-Intégration de l'épreuve d'analyse du semestre 1 (40 minutes, sur feuille).

Primitives

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si F' = f sur I.

C'est la dérivation lue de droite à gauche. F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x, parce que la dérivée de x² est bien 2x.

Propriété

Si F est une primitive de f, alors toutes les primitives de f sont les fonctions F + C, où C est une constante quelconque.

La raison est simple : deux fonctions ont la même dérivée si et seulement si elles diffèrent d'une constante. Une constante disparaît à la dérivation, donc rien ne permet de la retrouver.

Le « + C » n'est pas décoratif

Une primitive sans son + C est une réponse fausse à la question « déterminer les primitives de f ». En revanche, dès qu'on calcule une intégrale définie, la constante se simplifie entre les deux bornes : on peut alors l'omettre. Sache pourquoi tu l'écris ou pas.

Quand l'énoncé impose une condition (« la primitive qui vaut 3 en 0 »), on écrit la forme générale F(x) + C, on injecte la condition, et on en tire C. Il n'y a alors plus qu'une réponse.

Le tableau des primitives usuelles

C'est le tableau des dérivées, lu à l'envers.

f(x)	Une primitive F(x)	Valable sur
`k`	`k x`	ℝ
`x^n` (n ≠ −1)	`x^(n+1)/(n+1)`	ℝ
`1/x`	`ln\|x\|`	`]0;+∞[` ou `]−∞;0[`
`1/x²`	`−1/x`	x ≠ 0
`1/√x`	`2√x`	`]0;+∞[`
`e^x`	`e^x`	ℝ
`e^(ax)`	`e^(ax)/a`	ℝ
`cos x`	`sin x`	ℝ
`sin x`	`−cos x`	ℝ
`1/cos²x`	`tan x`	hors π/2 + kπ

Deux pièges de signe

La primitive de sin est −cos (le signe moins apparaît ici, pas à la dérivation). Et la primitive de 1/x est ln|x| avec la valeur absolue : sans elle, la formule serait fausse pour x négatif.

Les formes composées

Ce sont elles qu'on rencontre en épreuve. Chaque ligne se vérifie en dérivant de droite à gauche.

f(x)	Une primitive
`u' u^n`	`u^(n+1)/(n+1)`
`u'/u`	`ln\|u\|`
`u' e^u`	`e^u`
`u'/√u`	`2√u`
`u' cos u`	`sin u`
`u' sin u`	`−cos u`

Le réflexe qui débloque presque tout

Devant une fonction à intégrer, cherche d'abord si la dérivée d'un morceau apparaît en facteur. Si oui, tu es sur une forme composée et c'est fini en une ligne. 2x·e^(x²) : la dérivée de x² est 2x, elle est là → primitive e^(x²).

Exemple travaillé. Primitives de f(x) = x/(x² + 1).

On voudrait la forme u'/u avec u = x² + 1. Or u' = 2x, et on n'a que x. On corrige par un facteur constant :

f(x) = (1/2) × 2x/(x² + 1)

D'où F(x) = (1/2) ln(x² + 1) + C, sans valeur absolue ici, car x² + 1 est toujours positif.

L'intégrale définie

Théorème fondamental

Si F est une primitive de f sur [a ; b], alors

∫ de a à b de f(x) dx = F(b) − F(a)

Ce nombre se note aussi [F(x)] entre a et b.

C'est le résultat qui relie les deux moitiés de l'analyse : une aire (notion géométrique) se calcule avec une primitive (notion algébrique). Rien n'obligeait ces deux mondes à se rejoindre ; c'est le théorème central du calcul différentiel.

Exemple travaillé. ∫ de 0 à 2 de (3x² + 1) dx.

Une primitive est F(x) = x³ + x. Donc :

F(2) − F(0) = (8 + 2) − 0 = 10

Ce que le résultat signifie

Interprétation

Si f ⩾ 0 sur [a ; b], l'intégrale est l'aire de la région comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b, exprimée en unités d'aire.

Si f est négative, l'intégrale est négative : on parle d'aire algébrique. C'est la source d'erreur numéro un du chapitre.

Intégrale ≠ aire

∫ de 0 à 2π de sin(x) dx = 0. Ce n'est pas que l'aire est nulle : la bosse positive et la bosse négative se compensent. Si on demande l'aire, il faut découper l'intervalle aux points où f change de signe et additionner les valeurs absolues. Si on demande l'intégrale, on répond 0. Lis le mot exact de l'énoncé.

Les propriétés de calcul

Propriétés de l'intégrale

Linéarité : ∫(f + g) = ∫f + ∫g et ∫(k f) = k ∫f.

Chasles : ∫ de a à b + ∫ de b à c = ∫ de a à c. C'est ce qui permet de découper un intervalle.

Inversion des bornes : ∫ de a à b = − ∫ de b à a. Et ∫ de a à a = 0.

Positivité : si f ⩾ 0 sur [a ; b] avec a ⩽ b, alors ∫ de a à b de f ⩾ 0. Si f ⩽ g, alors ∫f ⩽ ∫g.

Il n'existe en revanche aucune formule pour l'intégrale d'un produit ou d'un quotient. ∫(fg) ≠ (∫f)(∫g). C'est précisément pour traiter les produits qu'existe l'intégration par parties.

Aire entre deux courbes

Si f ⩾ g sur [a ; b], l'aire de la région comprise entre les deux courbes vaut :

A = ∫ de a à b de (f(x) − g(x)) dx

Exemple travaillé. Aire entre f(x) = x et g(x) = x² sur [0 ; 1].

Sur cet intervalle, x ⩾ x² (vérifie en 0,5 : 0,5 > 0,25). Donc :

A = ∫ de 0 à 1 de (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3] = (1/2 − 1/3) − 0 = 1/6

La méthode

Toujours dans l'ordre : 1) trouver les points d'intersection (ce sont les bornes), 2) déterminer laquelle des deux courbes est au-dessus, 3) intégrer « celle du haut moins celle du bas ». Si tu obtiens une aire négative, tu as inversé l'étape 2.

Valeur moyenne

Définition

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est μ = (1/(b − a)) × ∫ de a à b de f(x) dx.

C'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que la région sous la courbe. En physique, c'est la tension moyenne d'un signal, la puissance moyenne sur une période, la température moyenne d'une journée.

Intégration par parties

Elle traite les intégrales de produits, quand la forme composée ne s'applique pas.

Formule

∫ de a à b de u'v = [uv] de a à b − ∫ de a à b de u v'

Elle vient directement de la dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv', qu'on intègre des deux côtés puis qu'on réarrange.

L'idée est un échange : on remplace l'intégrale de u'v par celle de uv', en espérant que la seconde soit plus simple. Tout dépend donc du choix de u et de v.

Comment choisir

On pose v = le facteur qui se simplifie en dérivant (typiquement un polynôme, ou un ln), et u' = le facteur qu'on sait primitiver (typiquement e^x, cos x, sin x). Un polynôme de degré n perd un degré à chaque dérivation : au bout de n intégrations par parties, il a disparu.

Exemple travaillé. ∫ de 0 à 1 de x e^x dx.

On pose v = x (qui se simplifie : v' = 1) et u' = e^x (dont on connaît la primitive : u = e^x).

∫ de 0 à 1 de x e^x dx = [x e^x] de 0 à 1 − ∫ de 0 à 1 de e^x dx

= (1×e − 0) − [e^x] de 0 à 1 = e − (e − 1) = 1

Le cas particulier du logarithme. Pour ∫ ln x dx, il n'y a apparemment qu'un facteur. On écrit ln x = 1 × ln x et on pose u' = 1 (donc u = x) et v = ln x (donc v' = 1/x) :

∫ ln x dx = x ln x − ∫ x × (1/x) dx = x ln x − x + C

C'est un résultat à connaître.

Changement de variable

Quand une expression revient plusieurs fois, on lui donne un nom.

Principe

en posant t = φ(x), on remplace dt = φ'(x) dx, et on convertit les bornes : si x va de a à b, alors t va de φ(a) à φ(b).

Exemple travaillé. ∫ de 0 à 1 de 2x(x² + 1)³ dx.

On pose t = x² + 1, donc dt = 2x dx. Les bornes deviennent : x = 0 → t = 1 et x = 1 → t = 2.

∫ de 1 à 2 de t³ dt = [t⁴/4] de 1 à 2 = 16/4 − 1/4 = 15/4

Les bornes changent aussi

C'est l'oubli classique : on substitue la variable mais on garde les anciennes bornes. Le résultat est alors faux sans que rien ne le signale. Écris explicitement la conversion des deux bornes avant de calculer.

Note qu'on aurait pu traiter cet exemple directement en forme composée u' u³ : les deux méthodes sont cohérentes, la substitution ne fait que rendre le calcul plus visible.

Comment choisir sa méthode

Ce que tu vois	Méthode
une fonction du tableau	primitive directe
la dérivée d'un morceau en facteur	forme composée (`u'u^n`, `u'/u`, `u'e^u`…)
polynôme × exponentielle (ou sinus, cosinus)	intégration par parties
un `ln` seul, ou polynôme × `ln`	intégration par parties
une expression qui revient, dont la dérivée est là	changement de variable
une fraction rationnelle	décomposition en éléments simples, puis `u'/u`

Exercices type

1. Primitives de f(x) = 3x² − 4x + 5

F(x) = x³ − 2x² + 5x + C

Contrôle : en dérivant, on retrouve bien 3x² − 4x + 5 ✓

2. Primitive de f(x) = (2x + 3)/(x² + 3x + 7)

Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : forme u'/u.

F(x) = ln(x² + 3x + 7) + C

Le trinôme a pour discriminant 9 − 28 = −19 < 0 : il est toujours strictement positif, donc la valeur absolue est inutile.

3. Calculer ∫ de 1 à e de (ln x)/x dx

Forme u'u avec u = ln x et u' = 1/x.

= [(ln x)²/2] de 1 à e = (1²/2) − (0²/2) = 1/2

4. Calculer ∫ de 0 à π de x sin x dx

Intégration par parties : v = x (se simplifie), u' = sin x (donc u = −cos x).

= [−x cos x] de 0 à π + ∫ de 0 à π de cos x dx

= (−π × (−1) − 0) + [sin x] de 0 à π = π + 0 = π

5. Aire entre f(x) = 4 − x² et l'axe des abscisses

La courbe coupe l'axe en x = −2 et x = 2, et elle est au-dessus entre les deux.

A = ∫ de −2 à 2 de (4 − x²) dx = [4x − x³/3] de −2 à 2

= (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3

6. Valeur moyenne de f(x) = sin x sur [0 ; π]

∫ de 0 à π de sin x dx = [−cos x] de 0 à π = 1 − (−1) = 2

μ = 2/π ≈ 0,637

C'est la valeur moyenne d'une alternance redressée : un résultat que tu retrouveras en électricité.

La méthode sur feuille

Cherche d'abord la forme composée. La dérivée d'un morceau est-elle en facteur ? C'est la question qui fait gagner le plus de temps.
Si c'est un produit dont un facteur se simplifie en dérivant, pars sur une intégration par parties, et annonce clairement ton choix de u et v.
Ajuste les constantes : si tu as x et qu'il faut 2x, écris (1/2) × 2x. Ne « perds » jamais un facteur en route.
Contrôle en dérivant. Une primitive se vérifie en dix secondes. Fais-le systématiquement : c'est le seul chapitre où la vérification est gratuite.
Contrôle le signe : une aire est positive, une intégrale peut être négative.
Pour un changement de variable, écris la conversion des bornes sur une ligne à part.

En résumé

Une primitive F vérifie F' = f. Elles diffèrent toutes d'une constante : ne perds pas le + C.
Le tableau des primitives est celui des dérivées, à l'envers. Attention : primitive de sin = −cos, primitive de 1/x = ln|x|.
Formes composées : u'u^n, u'/u, u'e^u, u'/√u. Chercher la dérivée d'un morceau en facteur est le premier réflexe.
Théorème fondamental : ∫ de a à b de f = F(b) − F(a).
L'intégrale est une aire algébrique : négative là où la fonction est sous l'axe. Aire ≠ intégrale.
Aire entre deux courbes : intégrer « celle du haut moins celle du bas », entre les points d'intersection.
Chasles pour découper, linéarité pour séparer. Aucune formule pour un produit.
Valeur moyenne : (1/(b−a)) ∫ de a à b de f.
Par parties : ∫u'v = [uv] − ∫uv'. On dérive ce qui se simplifie, on primitive ce qu'on sait primitiver.
Changement de variable : convertir aussi les bornes.
Une primitive se vérifie en dérivant. Toujours.

Et ensuite ? Le chapitre Équations différentielles utilise tout ce qui précède : on y cherche une fonction dont on ne connaît que le lien entre elle et sa dérivée.