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mathsÉquations différentielles

Équations différentielles

Objectifs du Chapitre

Reconnaître une équation différentielle linéaire du premier ordre et identifier ses éléments.

Résoudre y' = ay et y' = ay + b, et connaître la forme de leurs solutions par cœur.

Résoudre l'équation homogène y' + a(x) y = 0 dans le cas général.

Trouver une solution particulière selon la forme du second membre.

Assembler solution générale = solution homogène + solution particulière.

Déterminer la constante à partir d'une condition initiale.

Traduire un énoncé physique en équation différentielle, et interpréter la solution.

Où on va
On sait rarement écrire directement la loi d'un phénomène. En revanche, on sait presque toujours écrire comment il varie : un corps chaud se refroidit d'autant plus vite qu'il est loin de la température ambiante, un condensateur se charge d'autant plus lentement qu'il est déjà chargé, une population croît proportionnellement à son effectif. Chacune de ces phrases est une équation différentielle, et la résoudre, c'est remonter de la règle de variation à la fonction elle-même. Ce chapitre couvre le bloc Équations différentielles de l'épreuve d'analyse du semestre 1 (40 minutes, sur feuille).

Ce qu'est une équation différentielle

Définition

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, et qui relie cette fonction à ses dérivées.

La différence avec une équation ordinaire est là : x² = 4 a pour solutions deux nombres ; y' = 2y a pour solutions des fonctions. Et il y en a une infinité, sauf si on ajoute une information supplémentaire.

Définition

Une équation est linéaire du premier ordre si elle s'écrit y' + a(x) y = f(x). On y trouve y et y', chacun à la puissance 1, sans produit y y' ni y². Le terme f(x) s'appelle le second membre. Quand f = 0, l'équation est dite homogène (ou sans second membre).

Le cas fondamental : y' = a y

C'est l'équation la plus importante du chapitre, celle dont tout le reste découle.

Théorème

Les solutions de y' = a y sur ℝ sont exactement les fonctions

y(x) = C e^(ax),   où C est une constante réelle quelconque.

La phrase à retenir : une fonction dont la dérivée est proportionnelle à elle-même est une exponentielle. C'est ce qui rend l'exponentielle omniprésente en sciences. Dès qu'un phénomène varie proportionnellement à son état, elle apparaît.

Le signe de a décide de tout :

  • a > 0 : croissance explosive (population sans contrainte, réaction en chaîne) ;
  • a < 0 : décroissance vers 0 (décharge d'un condensateur, désintégration radioactive, refroidissement).
Lire l'énoncé physique
« La vitesse de disparition est proportionnelle à la quantité présente » se traduit mot à mot par N'(t) = −k N(t), avec k > 0. Le signe moins traduit la disparition. La solution est N(t) = N₀ e^(−kt), et le temps de demi-vie s'en déduit en résolvant e^(−kT) = 1/2, soit T = ln 2 / k.

Le cas y' = a y + b

C'est le modèle du système qui tend vers un équilibre non nul : un corps qui refroidit vers la température de la pièce, un condensateur qui se charge vers la tension d'alimentation.

Théorème

Les solutions de y' = a y + b (avec a ≠ 0) sont

y(x) = C e^(ax) − b/a

La méthode qui permet de le retrouver, et qui est celle attendue sur la copie :

  1. Solution particulière constante. On cherche une solution qui ne varie pas : si y = k, alors y' = 0, donc 0 = ak + b, d'où k = −b/a. C'est la valeur d'équilibre du système.
  2. Solution générale de l'homogène y' = ay : C e^(ax).
  3. Somme des deux.

Exemple travaillé. y' = −2y + 6.

Équilibre : k = −6/(−2) = 3. Homogène : C e^(−2x). Donc y(x) = C e^(−2x) + 3.

Comme a = −2 < 0, le terme exponentiel s'efface avec le temps : quelle que soit la valeur de départ, la solution tend vers 3. C'est le régime permanent, et C e^(−2x) est le régime transitoire.

Le principe général de résolution

C'est la structure qui organise tout le chapitre, et elle vaut aussi pour le second ordre que tu verras plus tard.

Le théorème de structure
Solution générale = solution générale de l'équation homogène + une solution particulière de l'équation complète.
Autrement dit : une seule solution particulière suffit, et l'homogène fournit toute la famille. C'est pour cela qu'on peut chercher la solution particulière « au hasard » d'une forme plausible : dès qu'on en tient une, on a tout.

Étape 1 : l'équation homogène

Pour y' + a(x) y = 0, on sépare les variables : y'/y = −a(x). En intégrant les deux membres, ln|y| = −A(x) + cte où A est une primitive de a. D'où :

Théorème

Les solutions de y' + a(x) y = 0 sont y(x) = C e^(−A(x)), où A est une primitive de a.

Le cas a constant redonne bien y = C e^(−ax).

Exemple. y' + 2x y = 0. Ici a(x) = 2x, donc A(x) = x², et les solutions sont y = C e^(−x²).

Étape 2 : une solution particulière

On la cherche « de la même forme que le second membre ». C'est une recette, mais elle est fiable et c'est celle qu'on attend en épreuve.

Second membre f(x)Forme à essayer
constante bune constante k
polynôme de degré npolynôme de degré n
k e^(mx)α e^(mx)
k cos(ωx) + k' sin(ωx)α cos(ωx) + β sin(ωx)

On injecte la forme dans l'équation, on identifie les coefficients, on obtient α et β.

Le cas résonnant
Si la forme essayée est déjà solution de l'homogène, elle donne 0 = 0 et ne mène nulle part. Il faut alors la multiplier par x. Exemple : pour y' − 2y = e^(2x), essayer α e^(2x) échoue, car e^(2x) est déjà solution de l'homogène ; on essaie α x e^(2x). C'est le même phénomène que la résonance en physique.

Exemple travaillé. y' − y = x.

  • Homogène : y' = y → C e^x.
  • Particulière : le second membre est un polynôme de degré 1, on essaie y = αx + β. Alors y' = α, et l'équation devient α − (αx + β) = x, soit −αx + (α − β) = x. Par identification : −α = 1 donc α = −1 ; et α − β = 0 donc β = −1.
  • Solution générale : y(x) = C e^x − x − 1.

Contrôle en dérivant : y' = C e^x − 1, et y' − y = C e^x − 1 − C e^x + x + 1 = x ✓

Variation de la constante

Quand aucune forme ne se devine, il existe une méthode qui marche toujours. On part de la solution homogène C e^(−A(x)) et on remplace la constante C par une fonction C(x). En injectant dans l'équation complète, tous les termes se simplifient sauf un, et il reste :

C'(x) e^(−A(x)) = f(x),   donc   C'(x) = f(x) e^(A(x))

Il ne reste plus qu'à intégrer pour obtenir C(x). La méthode est plus longue, mais elle ne dépend d'aucune devinette.

Étape 3 : la condition initiale

Tant qu'on n'a que la solution générale, il reste une constante libre : il y a une infinité de solutions, une par valeur de C. Une condition initiale du type y(0) = 5 en sélectionne exactement une.

L'ordre à respecter
On applique la condition initiale tout à la fin, sur la solution générale complète, jamais sur la seule partie homogène. C'est une erreur classique, et elle donne une réponse fausse qui a l'air correcte.

Exemple travaillé. Résoudre y' = −2y + 6 avec y(0) = 1.

Solution générale : y(x) = C e^(−2x) + 3.

En x = 0 : y(0) = C + 3 = 1, donc C = −2.

Solution unique : y(x) = −2 e^(−2x) + 3.

Elle part de 1 et monte vers 3 : le comportement attendu d'une charge.

Traduire un énoncé en équation

C'est la moitié des points d'une étude de cas. Le vocabulaire est stable :

L'énoncé ditOn écrit
« la vitesse de… », « le taux de variation de… »y'
« proportionnel à y »k y
« proportionnel à l'écart entre y et M »k (M − y)
« croît », « augmente »coefficient positif
« décroît », « se refroidit », « se décharge »coefficient négatif

Exemple : la loi de refroidissement de Newton. « La vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à l'écart entre sa température et celle du milieu. »

T'(t) = −k (T(t) − T_ambiante), avec k > 0.

C'est une équation de la forme y' = ay + b avec a = −k et b = k T_amb. L'équilibre vaut −b/a = T_amb : le corps tend vers la température de la pièce, ce qui est rassurant. Et la solution est T(t) = T_amb + (T₀ − T_amb) e^(−kt).

Exemple : la charge d'un condensateur. Le circuit RC donne RC u' + u = E, soit u' = −u/(RC) + E/(RC).

L'équilibre vaut E : le condensateur se charge jusqu'à la tension d'alimentation. La solution avec u(0) = 0 est u(t) = E(1 − e^(−t/RC)). La quantité τ = RC s'appelle la constante de temps : au bout de τ, la charge a atteint 63 % de sa valeur finale ; au bout de 5τ, on la considère terminée.

Exercices type

1. Résoudre y' = 3y avec y(0) = 2

Solution générale : y = C e^(3x).

y(0) = C = 2, donc y(x) = 2 e^(3x).

2. Résoudre 2y' + y = 4

On met sous forme normalisée : y' = −y/2 + 2.

Équilibre : k = −2/(−1/2) = 4. Homogène : C e^(−x/2).

y(x) = C e^(−x/2) + 4, et toutes les solutions tendent vers 4.

3. Résoudre y' + y = e^(2x)

Homogène : y' = −y → C e^(−x).

Particulière : on essaie α e^(2x) (ce n'est pas solution de l'homogène, pas de problème de résonance). Alors 2α e^(2x) + α e^(2x) = e^(2x), donc 3α = 1 et α = 1/3.

y(x) = C e^(−x) + (1/3) e^(2x)

4. Résoudre y' − y = e^x

Homogène : C e^x.

Particulière : α e^x est déjà solution de l'homogène → cas résonnant. On essaie y = α x e^x, dont la dérivée est α e^x + α x e^x. En injectant : α e^x + α x e^x − α x e^x = e^x, donc α = 1.

y(x) = C e^x + x e^x = (C + x) e^x

5. Résoudre y' + (2/x) y = 0 sur ]0 ; +∞[

Ici a(x) = 2/x, dont une primitive est A(x) = 2 ln x = ln(x²).

y = C e^(−ln(x²)) = C / x²

Contrôle : y' = −2C/x³, et y' + (2/x)y = −2C/x³ + 2C/x³ = 0 ✓

6. Une population de 1000 bactéries double toutes les 3 heures. Combien après 12 h ?

Modèle : N' = kN, donc N(t) = 1000 e^(kt).

Le doublement en 3 h donne e^(3k) = 2, donc k = (ln 2)/3.

N(12) = 1000 e^(12 ln2/3) = 1000 × 2⁴ = 16 000

On pouvait répondre sans calcul : 12 h = 4 doublements = ×16.

La méthode sur feuille

  1. Normalise l'équation : isole y' avec un coefficient 1 devant.
  2. Identifie le type : homogène ou avec second membre ? coefficients constants ou fonction de x ?
  3. Résous l'homogène d'abord. Toujours. C'est là qu'est la constante.
  4. Cherche une solution particulière de la même forme que le second membre. Vérifie d'abord qu'elle n'est pas déjà solution de l'homogène. Sinon, multiplie par x.
  5. Additionne les deux.
  6. Applique la condition initiale en dernier, sur la solution complète.
  7. Contrôle en dérivant ta solution et en la réinjectant dans l'équation. C'est gratuit et ça attrape tout.
  8. Pour un problème concret, vérifie le comportement à l'infini : si le modèle décrit un refroidissement, la solution doit tendre vers la température ambiante.

En résumé

  • Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Ses solutions sont des fonctions, en nombre infini sans condition initiale.
  • y' = ay → y = C e^(ax). C'est le résultat central : dérivée proportionnelle à la fonction ⟹ exponentielle.
  • y' = ay + b → y = C e^(ax) − b/a, où −b/a est la valeur d'équilibre.
  • y' + a(x)y = 0 → y = C e^(−A(x)), avec A primitive de a.
  • Structure : solution générale = solution générale de l'homogène + une solution particulière.
  • La solution particulière se cherche de la même forme que le second membre ; si cette forme est déjà solution de l'homogène, la multiplier par x.
  • La variation de la constante est la méthode de secours, valable toujours.
  • La condition initiale s'applique en dernier, sur la solution complète.
  • Une solution se vérifie en dérivant. Fais-le systématiquement.

Et ensuite ? Le semestre 2 ouvre l'épreuve d'algèbre avec les Polynômes, puis les Graphes et les Matrices. Les équations différentielles reviendront au semestre 3, au second ordre, pour décrire les oscillations.