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Les polynômes

Objectifs du Chapitre

Déterminer le degré d'un polynôme et l'effet des opérations sur ce degré.

Utiliser le lien entre racine et factorisation, et déterminer la multiplicité d'une racine.

Effectuer une division euclidienne de polynômes.

Factoriser complètement un polynôme dans ℝ et dans ℂ.

Utiliser les relations entre coefficients et racines pour contrôler ou compléter une factorisation.

Étudier le signe d'un polynôme à partir de sa forme factorisée.

Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.

Où on va
Le polynôme est la fonction la plus simple qu'on sache écrire : des additions et des multiplications, rien d'autre. C'est précisément pour ça qu'il sert de brique à tout le reste. On approche une courbe compliquée par un polynôme, on modélise un signal par un polynôme, et un système physique linéaire se résume presque toujours à trouver les racines d'un polynôme. Ce chapitre couvre le bloc Polynômes de l'épreuve d'algèbre du semestre 2 (40 minutes, sur feuille).

Définitions

Définition

Un polynôme est une expression de la forme P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, où les aᵢ sont des nombres appelés coefficients. Le degré de P, noté deg P, est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul. Le coefficient aₙ correspondant s'appelle le coefficient dominant.

Quelques conventions à connaître : un polynôme constant non nul est de degré 0 ; le polynôme nul n'a pas de degré (ou, par convention, −∞) ; un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 est dit unitaire.

Propriétés du degré

deg(P × Q) = deg P + deg Q. En revanche deg(P + Q) ⩽ max(deg P, deg Q), avec une inégalité stricte possible quand les termes dominants se compensent : par exemple (x² + x) + (−x² + 1) = x + 1, de degré 1.

Deux polynômes sont égaux si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux, terme à terme. C'est le principe d'identification, l'outil de démonstration principal du chapitre : d'une égalité entre polynômes, on tire autant d'équations qu'il y a de coefficients.

Racines et factorisation

Définition

Un nombre a est une racine de P si P(a) = 0.

Théorème central du chapitre

a est racine de P si et seulement si P est divisible par (x − a), c'est-à-dire s'il existe un polynôme Q tel que P(x) = (x − a) Q(x), avec deg Q = deg P − 1.

À retenir
Chaque racine trouvée fait descendre le degré d'un cran. C'est toute la stratégie de factorisation : on trouve une racine, on divise, on recommence sur le quotient, jusqu'à tomber sur un degré 2 qu'on sait traiter avec le discriminant.

Chercher une racine évidente

Devant un polynôme de degré 3 ou plus, la première chose à faire est d'essayer les valeurs simples : 0, 1, −1, 2, −2. C'est ce que les énoncés appellent une « racine évidente », et elle est presque toujours là.

Un critère qui accélère la recherche : si les coefficients sont entiers, toute racine entière divise le terme constant a₀. Pour P(x) = x³ − 4x² + x + 6, on ne teste donc que les diviseurs de 6 : ±1, ±2, ±3, ±6.

P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0 ✓, on tient une racine.

Multiplicité

Définition

a est racine de multiplicité m si P(x) = (x − a)^m Q(x) avec Q(a) ≠ 0. On parle de racine simple (m = 1), double (m = 2), triple (m = 3).

Un critère pratique : a est racine au moins double si P(a) = 0 et P'(a) = 0. Plus généralement, la multiplicité est le rang de la première dérivée qui ne s'annule pas en a.

La multiplicité a une lecture graphique directe : en une racine simple, la courbe traverse l'axe ; en une racine double, elle le touche sans le traverser (elle rebondit) ; en une racine triple, elle le traverse avec un aplatissement.

Conséquence sur le signe
Un polynôme change de signe en une racine de multiplicité impaire, et ne change pas de signe en une racine de multiplicité paire. C'est ce qui permet de dresser un tableau de signes juste du premier coup.

Combien de racines

Théorème

Un polynôme de degré n a au plus n racines dans ℝ (en comptant les multiplicités).

Théorème de d'Alembert-Gauss : dans ℂ, il en a exactement n, comptées avec leur multiplicité. Tout polynôme se factorise donc complètement en produit de facteurs (x − aᵢ) sur les complexes.

C'est une raison de plus d'avoir travaillé les complexes : dans ℝ, une factorisation peut rester bloquée sur un facteur de degré 2 sans racine ; dans ℂ, elle va toujours jusqu'au bout.

Propriété

Si P est à coefficients réels et admet une racine complexe z, alors z̄ est aussi racine, avec la même multiplicité. Les racines non réelles vont donc par paires conjuguées, d'où le fait qu'un polynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine réelle.

La division euclidienne

C'est la même mécanique que la division des entiers posée à la main.

Théorème

Pour A et B polynômes avec B ≠ 0, il existe un unique couple (Q, R) tel que

A = B Q + R,   avec deg R < deg B.

Q est le quotient, R le reste. Quand R = 0, on dit que B divise A.

Exemple travaillé. Diviser A = x³ − 4x² + x + 6 par B = x + 1.

On procède terme dominant par terme dominant :

  x³ − 4x² +  x + 6  |  x + 1
− (x³ +  x²)         |  x² − 5x + 6
  ─────────
      − 5x² +  x + 6
    − (− 5x² − 5x)
      ─────────
             6x + 6
           − (6x + 6)
             ─────────
                   0

Reste nul, donc x³ − 4x² + x + 6 = (x + 1)(x² − 5x + 6).

Il reste à factoriser le trinôme : Δ = 25 − 24 = 1, racines (5 ± 1)/2, soit 3 et 2. La factorisation complète est :

P(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 3)

Un contrôle qui coûte trois secondes

Propriété

Le reste de la division de P par (x − a) est P(a).

Ainsi, pour savoir si (x − 3) divise P, inutile de poser la division : il suffit de calculer P(3). Et après une division, on vérifie en développant, ou plus vite en testant une valeur simple (souvent x = 0 ou x = 1) dans les deux écritures.

Relations entre coefficients et racines

Pour un trinôme ax² + bx + c de racines x₁ et x₂ :

x₁ + x₂ = −b/a   et   x₁ x₂ = c/a

Pour un polynôme de degré 3 ax³ + bx² + cx + d de racines x₁, x₂, x₃ :

somme = −b/a,   somme des produits deux à deux = c/a,   produit = −d/a

Deux usages
Contrôler une factorisation en dix secondes : dans l'exemple ci-dessus, les racines −1, 2, 3 ont pour somme 4 = −(−4)/1 ✓ et pour produit −6 = −6/1 ✓.
Compléter une factorisation : si on connaît deux racines sur trois, la troisième se déduit de la somme sans aucun calcul.

Identités remarquables utiles

Au-delà des trois du lycée, deux formules font gagner beaucoup de temps :

  • a² − b² = (a − b)(a + b)
  • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
  • a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
  • xⁿ − 1 = (x − 1)(x^(n−1) + x^(n−2) + … + x + 1)

La dernière explique pourquoi 1 est toujours racine de xⁿ − 1, et sert dès qu'on manipule des racines de l'unité.

Signe d'un polynôme

Une fois le polynôme factorisé, le signe se lit dans un tableau. La règle :

  1. Placer toutes les racines sur la ligne des x, dans l'ordre croissant.
  2. Donner le signe de chaque facteur sur chaque intervalle.
  3. Multiplier les signes colonne par colonne.

Pour un trinôme ax² + bx + c avec Δ > 0, il y a un raccourci classique : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines. Si Δ < 0, il garde le signe de a partout, sans jamais s'annuler.

Décomposition en éléments simples

C'est le pont entre ce chapitre et l'intégration : on ne sait pas intégrer une fraction rationnelle compliquée, mais on sait intégrer 1/(x − a).

Principe

Une fraction N(x)/D(x) dont le degré du numérateur est strictement inférieur à celui du dénominateur se décompose en somme de fractions à dénominateurs simples, un par facteur de D.

Exemple travaillé. Décomposer 1/((x − 1)(x + 2)).

On cherche A et B tels que :

1/((x−1)(x+2)) = A/(x−1) + B/(x+2)

La méthode rapide : multiplier par un facteur puis évaluer en sa racine :

  • multiplie par (x − 1) et fais x = 1 : A = 1/(1 + 2) = 1/3 ;
  • multiplie par (x + 2) et fais x = −2 : B = 1/(−2 − 1) = −1/3.

Résultat : 1/3 × 1/(x−1) − 1/3 × 1/(x+2).

Contrôle en x = 0 : à gauche 1/((−1)(2)) = −1/2 ; à droite 1/3 × (−1) − 1/3 × (1/2) = −1/3 − 1/6 = −1/2 ✓

Et l'intégration devient immédiate : (1/3) ln|x−1| − (1/3) ln|x+2| + C.

Vérifie les degrés d'abord
Si le degré du numérateur est supérieur ou égal à celui du dénominateur, il faut d'abord faire la division euclidienne. Par exemple x²/(x−1) s'écrit x + 1 + 1/(x−1), et c'est seulement le dernier terme qui se décompose.

Exercices type

1. Factoriser P(x) = x³ − 7x + 6

Racine évidente : P(1) = 1 − 7 + 6 = 0 ✓

Division par (x − 1) : P(x) = (x − 1)(x² + x − 6).

Le trinôme : Δ = 1 + 24 = 25, racines (−1 ± 5)/2 = 2 et −3.

P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3)

Contrôle : somme des racines 1 + 2 − 3 = 0 = −b/a (le coefficient de x² est nul) ✓ ; produit 1×2×(−3) = −6 = −d/a ✓

2. Reste de la division de x⁵ + 2x − 1 par x − 2

Le reste vaut P(2) = 32 + 4 − 1 = 35. Aucune division à poser.

3. Montrer que 2 est racine double de P(x) = x³ − 5x² + 8x − 4

P(2) = 8 − 20 + 16 − 4 = 0 ✓

P'(x) = 3x² − 10x + 8, donc P'(2) = 12 − 20 + 8 = 0 ✓

2 est donc racine au moins double. Comme deg P = 3, la dernière racine se lit sur le produit : x₁x₂x₃ = −d/a = 4, donc 2 × 2 × x₃ = 4 et x₃ = 1.

P(x) = (x − 2)²(x − 1)

4. Factoriser x⁴ − 1 dans ℝ puis dans ℂ

x⁴ − 1 = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1)

Dans ℝ, on s'arrête là : x² + 1 n'a pas de racine réelle. C'est la factorisation complète sur ℝ.

Dans ℂ, x² + 1 = (x − i)(x + i), d'où :

x⁴ − 1 = (x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i)

Quatre racines pour un degré 4, conformément à d'Alembert, et les deux racines non réelles sont conjuguées.

5. Signe de P(x) = (x + 1)(x − 2)²(x − 3)

Racines : −1 (simple), 2 (double), 3 (simple).

Le polynôme change de signe en −1 et en 3, mais pas en 2. Le coefficient dominant est positif, donc P est positif au-delà de 3.

x−∞−123+∞
P(x)+0  − 0  − 0  + 

Autrement dit : positif sur ]−∞;−1[, négatif sur ]−1;3[ (en s'annulant au passage en 2 sans changer de signe), positif sur ]3;+∞[.

6. Décomposer (3x + 1)/((x − 1)(x + 1))

Forme cherchée : A/(x−1) + B/(x+1).

  • ×(x−1), puis x = 1 : A = (3 + 1)/(1 + 1) = 2
  • ×(x+1), puis x = −1 : B = (−3 + 1)/(−1 − 1) = 1

2/(x−1) + 1/(x+1)

Contrôle en x = 0 : à gauche 1/(−1) = −1 ; à droite −2 + 1 = −1 ✓

La méthode sur feuille

  1. Compte le degré : il te dit combien de racines chercher.
  2. Teste les racines évidentes : 0, 1, −1, 2, −2, puis les diviseurs du terme constant.
  3. Divise par (x − a) pour chaque racine trouvée. Le degré baisse d'un cran à chaque fois.
  4. Arrivé au degré 2, passe au discriminant.
  5. Contrôle avec les relations coefficients-racines : somme et produit. C'est immédiat et ça attrape presque toutes les erreurs.
  6. Pour un signe, factorise d'abord, puis fais le tableau, en tenant compte des multiplicités paires, qui ne changent pas le signe.
  7. Pour une fraction rationnelle, vérifie d'abord les degrés, divise si besoin, puis décompose.

En résumé

  • Degré : deg(PQ) = deg P + deg Q ; pour une somme, l'inégalité peut être stricte.
  • Deux polynômes sont égaux ⟺ tous leurs coefficients le sont (identification).
  • a racine ⟺ (x − a) divise P. Chaque racine fait baisser le degré d'un cran.
  • Multiplicité : P(a) = P'(a) = 0 ⟹ racine au moins double. Multiplicité impaire → changement de signe ; paire → pas de changement.
  • Un polynôme de degré n a au plus n racines réelles, et exactement n racines complexes (d'Alembert).
  • Coefficients réels ⟹ racines complexes conjuguées deux à deux.
  • Division euclidienne : A = BQ + R avec deg R < deg B. Le reste de la division par (x − a) vaut P(a).
  • Relations racines-coefficients : somme = −b/a, produit = c/a (degré 2). Un contrôle gratuit.
  • Éléments simples : vérifier les degrés, puis multiplier par un facteur et évaluer en sa racine.

Et ensuite ? Le chapitre Graphes aborde l'autre bloc de l'épreuve d'algèbre du semestre 2 : une structure sans calcul, mais avec beaucoup de raisonnement.