Géométrie : vecteurs, droites et plans

Vecteurs : ce que c'est vraiment

C'est la différence essentielle avec un point. Un point est quelque part ; un vecteur, non : il dit seulement « avance de tant, dans telle direction ». Le vecteur qui va du point A au point B se note AB (avec une flèche au-dessus sur ta copie) et se calcule en soustrayant les coordonnées :

AB = (x_B − x_A, y_B − y_A, z_B − z_A)

Opérations de base

Dans une base fixée, tout se fait coordonnée par coordonnée :

• Addition : u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃). Géométriquement, on met les flèches bout à bout.
• Multiplication par un réel : k·u = (k u₁, k u₂, k u₃). La flèche s'allonge (|k| > 1), se raccourcit (|k| < 1), ou change de sens (k < 0), mais garde sa direction.

Norme

C'est Pythagore, appliqué deux fois dans l'espace. Un vecteur de norme 1 est dit unitaire ; pour rendre unitaire un vecteur non nul, on le divise par sa norme : u / ‖u‖. On appelle ça normer le vecteur, et c'est un réflexe utile : dans beaucoup de formules, on ne s'intéresse qu'à la direction.

Colinéarité

En pratique, on vérifie que les coordonnées sont proportionnelles. Dans le plan, il existe un test plus rapide : le déterminant.

det(u, v) = u₁ v₂ − u₂ v₁

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul. Sa valeur absolue est par ailleurs l'aire du parallélogramme construit sur u et v, ce qui explique le test : une aire nulle signifie que le parallélogramme est aplati, donc que les deux vecteurs sont alignés.

Le produit scalaire

C'est l'outil qui mesure à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction.

C'est la coexistence de ces deux formules qui fait toute la puissance de l'outil : on calcule à gauche avec les coordonnées, et on lit à droite une information géométrique.

Ce que son signe raconte

Comme les normes sont positives, le signe du produit scalaire est celui de cos θ :

Calculer un angle

En égalant les deux formules, on isole le cosinus :

cos θ = (u · v) / (‖u‖ ‖v‖)

Exemple travaillé. Soit u = (1, 2, 2) et v = (3, 0, 4).

1. u · v = 1×3 + 2×0 + 2×4 = 11
2. ‖u‖ = √(1 + 4 + 4) = 3 et ‖v‖ = √(9 + 0 + 16) = 5
3. cos θ = 11 / 15 ≈ 0,733, donc θ ≈ 42,8°

Propriétés à connaître

• Symétrique : u · v = v · u
• Bilinéaire : (k u) · v = k (u · v) et (u + w) · v = u·v + w·v. On développe comme une multiplication ordinaire
• u · u = ‖u‖² : c'est ainsi qu'on transforme une longueur en produit scalaire

Cette dernière égalité sert à démontrer proprement : ‖u + v‖² = (u+v)·(u+v) = ‖u‖² + 2 u·v + ‖v‖². Quand u et v sont orthogonaux, le terme du milieu disparaît et on retrouve Pythagore.

Le produit vectoriel

Réservé à l'espace (dimension 3). Là où le produit scalaire renvoie un nombre, celui-ci renvoie un vecteur.

En coordonnées, avec u = (u₁, u₂, u₃) et v = (v₁, v₂, v₃) :

u ∧ v = (u₂v₃ − u₃v₂ , u₃v₁ − u₁v₃ , u₁v₂ − u₂v₁)

Propriétés

• Antisymétrique : v ∧ u = − (u ∧ v). L'ordre compte, contrairement au produit scalaire.
• u ∧ u = 0 (vecteur nul).
• u ∧ v = 0 si et seulement si u et v sont colinéaires. C'est le test de colinéarité dans l'espace.
• u · (u ∧ v) = 0 : le résultat est bien perpendiculaire aux deux vecteurs de départ, un contrôle en trois multiplications.

Ce qu'on en fait

Exemple travaillé : aire d'un triangle. A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

1. AB = (−1, 2, 0) et AC = (−1, 0, 3).
2. AB ∧ AC = (2×3 − 0×0 , 0×(−1) − (−1)×3 , (−1)×0 − 2×(−1)) = (6, 3, 2)
3. Contrôle : AB · (6,3,2) = −6 + 6 + 0 = 0 ✓
4. ‖AB ∧ AC‖ = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7
5. L'aire du triangle est la moitié de celle du parallélogramme : 7/2 = 3,5.

Droites et plans de l'espace

La droite

Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur u. Un point M est sur la droite si AM est colinéaire à u, ce qui donne la représentation paramétrique :

x = x_A + t·u₁
y = y_A + t·u₂        t décrit tous les réels
z = z_A + t·u₃

Le paramètre t est une position sur la droite : t = 0 donne A, t = 1 donne le point A + u, t négatif donne les points de l'autre côté.

Le plan

Un plan est déterminé par un point A et un vecteur normal n (perpendiculaire au plan). Un point M est dans le plan si AM · n = 0. En développant, on obtient l'équation cartésienne :

a x + b y + c z + d = 0

Le coefficient d se trouve en injectant les coordonnées d'un point connu du plan.

Exemple travaillé : équation du plan passant par A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).

1. Un vecteur normal est n = AB ∧ AC = (6, 3, 2) (calculé plus haut).
2. L'équation est donc de la forme 6x + 3y + 2z + d = 0.
3. On y injecte A : 6×1 + 0 + 0 + d = 0, donc d = −6.
4. Le plan a pour équation 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
5. Contrôle avec B : 0 + 6 + 0 − 6 = 0 ✓ ; avec C : 0 + 0 + 6 − 6 = 0 ✓

Positions relatives

Note le renversement, qui est la principale source d'erreurs : pour qu'une droite soit parallèle à un plan, il faut que son directeur soit orthogonal à la normale. C'est logique dès qu'on se rappelle que la normale est perpendiculaire au plan, mais sur une copie sous pression, on écrit l'inverse.

Distance d'un point à un plan

Pour un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 et un point M(x₀, y₀, z₀) :

dist(M, P) = |a x₀ + b y₀ + c z₀ + d| / √(a² + b² + c²)

L'interprétation : on injecte le point dans l'équation (ce qui donne 0 s'il est dans le plan, et une valeur d'autant plus grande qu'on s'en éloigne), puis on divise par la norme du vecteur normal pour obtenir une vraie longueur. La valeur absolue est indispensable : une distance est positive.

Distance d'un point à une droite

Pour une droite passant par A et de vecteur directeur u :

dist(M, D) = ‖AM ∧ u‖ / ‖u‖

L'interprétation : ‖AM ∧ u‖ est l'aire du parallélogramme construit sur AM et u ; en divisant par la longueur de la base ‖u‖, on obtient la hauteur, c'est-à-dire la distance cherchée.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Fais un croquis, même approximatif, même dans l'espace. La moitié des erreurs de signe se voient sur un dessin.
2. Calcule d'abord les vecteurs (arrivée moins départ) et écris-les proprement. Une erreur ici invalide tout.
3. Choisis l'outil selon le mot-clé de l'énoncé : perpendiculaire, angle, projection → scalaire. Aire, volume, « normal à », colinéaire → vectoriel.
4. Après un produit vectoriel, vérifie en calculant u · (u ∧ v) : ça doit faire 0.
5. Pour un plan, lis directement la normale dans les coefficients.
6. Vérifie qu'une distance est positive et qu'un cosinus est entre −1 et 1.

En résumé

• Un vecteur est un déplacement : direction, sens, longueur. AB = arrivée − départ.
• Norme : ‖u‖ = √(u₁² + u₂² + u₃²). Un vecteur unitaire s'obtient en divisant par la norme.
• Produit scalaire : u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = ‖u‖‖v‖cos θ. C'est un nombre. Nul ⟺ orthogonaux.
• Produit vectoriel : u ∧ v (indices 23, 31, 12). C'est un vecteur perpendiculaire aux deux. Nul ⟺ colinéaires. Sa norme est l'aire du parallélogramme.
• Droite : un point + un vecteur directeur → représentation paramétrique.
• Plan : un point + un vecteur normal → ax + by + cz + d = 0, où (a,b,c) est la normale.
• Distance point-plan : |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²). Point-droite : ‖AM ∧ u‖ / ‖u‖.
• Droite parallèle à un plan ⟺ directeur orthogonal à la normale. Attention au renversement.

Et ensuite ? Le chapitre Suites aborde l'autre moitié de l'épreuve d'algèbre du semestre 1 : les processus qui évoluent pas à pas.