Les nombres complexes

Le nombre i

C'est la seule règle nouvelle du chapitre. Tout le reste est du calcul algébrique ordinaire : on développe, on factorise, on réduit, exactement comme avec des lettres, et à la fin, on remplace chaque i² par −1.

La forme algébrique

Attention à un détail qui coûte des points : la partie imaginaire de 3 + 5i vaut 5, pas 5i. C'est un nombre réel.

Deux cas particuliers portent un nom :

• si b = 0, z est un réel ordinaire : les réels sont donc des complexes ;
• si a = 0, z est dit imaginaire pur (exemple : 7i).

Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. C'est ce qu'on appelle l'identification, et c'est un outil de démonstration à part entière : d'une seule égalité entre complexes, on tire deux équations entre réels.

Le plan complexe

Un complexe porte deux nombres réels : on peut donc le dessiner comme un point du plan, la partie réelle en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. z = 3 + 2i est le point de coordonnées (3, 2), qu'on appelle son image.

   Im
 3 |
 2 |             • z = 3 + 2i
 1 |          ⟋
 0 +----+----+----+---- Re
   0    1    2    3

Cette image n'est pas décorative : c'est elle qui rend tout le chapitre lisible. Un complexe, c'est une flèche partant de l'origine. Elle a une longueur et une direction : ce seront le module et l'argument.

Additionner

On additionne les parties réelles entre elles, les parties imaginaires entre elles :

(3 + 2i) + (1 + 4i) = 4 + 6i

Géométriquement, c'est l'addition de deux flèches mises bout à bout, exactement comme des vecteurs.

Multiplier

On développe, puis on remplace i² par −1 :

(3 + 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i + 2i + 8i² = 3 + 14i − 8 = −5 + 14i

Le conjugué

Son intérêt tient dans un seul calcul, à connaître par cœur :

z × z̄ = (a + ib)(a − ib) = a² − (ib)² = a² + b²

Le produit d'un complexe par son conjugué est donc toujours un réel positif. C'est le seul outil dont on a besoin pour diviser.

Deux autres égalités, utiles pour démontrer :

• z + z̄ = 2a = 2 Re z
• z − z̄ = 2ib = 2i Im z

D'où : z est réel si et seulement si z̄ = z, et z est imaginaire pur si et seulement si z̄ = −z.

Diviser

Une fraction avec un i au dénominateur n'est pas une forme acceptable : on n'y lit ni la partie réelle ni la partie imaginaire. La technique consiste à multiplier haut et bas par le conjugué du dénominateur, ce qui rend celui-ci réel.

Exemple avec (3 + 2i) / (1 + 4i) :

1. Le conjugué du dénominateur est 1 − 4i.
2. En bas : (1 + 4i)(1 − 4i) = 1² + 4² = 17.
3. En haut : (3 + 2i)(1 − 4i) = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.
4. Résultat : (11 − 10i)/17, soit 11/17 − (10/17) i.

Module et argument

Reviens à l'image de la flèche : une flèche, c'est une longueur et une direction.

Le module

Exemple : |3 + 4i| = √(9 + 16) = √25 = 5.

Note bien que le module ne s'additionne pas : |z + z'| n'est pas |z| + |z'| en général. Deux flèches opposées s'annulent.

L'argument

Pour le calculer, on cherche l'angle θ tel que :

cos θ = a / |z|   et   sin θ = b / |z|

Il faut les deux, et c'est là que se joue l'exercice. tan θ = b/a donne la même valeur pour un point et pour son symétrique par rapport à l'origine : une arctangente utilisée sans réfléchir te donne un angle qui peut être décalé de π.

Exemple travaillé : argument de z = −1 + i

1. Module : |z| = √(1 + 1) = √2.
2. cos θ = −1/√2 = −√2/2 et sin θ = 1/√2 = √2/2.
3. Cosinus négatif, sinus positif → deuxième quadrant.
4. L'angle du deuxième quadrant qui a ces valeurs est θ = 3π/4.

Valeurs remarquables à savoir de tête pour l'épreuve :

Les formes trigonométrique et exponentielle

Si r = |z| et θ = arg z, alors par définition du cosinus et du sinus, a = r cos θ et b = r sin θ. Donc tout complexe non nul s'écrit :

z = r (cos θ + i sin θ)   : forme trigonométrique

Euler a montré que la parenthèse se note plus court : cos θ + i sin θ = e^(iθ). D'où :

z = r e^(iθ)   : forme exponentielle

Pourquoi une troisième écriture

Parce qu'elle transforme la multiplication en addition. Avec z = r e^(iθ) et z' = r' e^(iθ') :

z × z' = r r' e^(i(θ + θ'))   et   z / z' = (r/r') e^(i(θ − θ'))

Deux cas particuliers qui reviennent sans arrêt :

• multiplier par i (module 1, argument π/2) = tourner d'un quart de tour dans le sens direct ;
• multiplier par −1 (module 1, argument π) = tourner d'un demi-tour.

Choisir sa forme

Une bonne copie commence souvent par convertir dans la forme adaptée, fait le calcul en deux lignes, puis reconvertit. Une mauvaise copie développe (1 + i)^8 à la main.

Exemple travaillé : calculer (1 + i)^8

1. |1 + i| = √2 et arg(1 + i) = π/4 (cos et sin tous deux positifs et égaux → premier quadrant, 45°).
2. Donc 1 + i = √2 e^(iπ/4).
3. (1 + i)^8 = (√2)^8 × e^(i·8π/4) = 16 × e^(2iπ).
4. e^(2iπ) = 1 (un tour complet), donc le résultat est 16.

Trois lignes contre une page de développement.

Formule de Moivre

En appliquant n fois la règle du produit à un complexe de module 1 :

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)   : formule de Moivre

Elle sert dans les deux sens :

• de gauche à droite pour calculer des puissances ;
• de droite à gauche pour établir des formules de trigonométrie. En développant (cos θ + i sin θ)² et en identifiant partie réelle et partie imaginaire avec cos 2θ + i sin 2θ, on retrouve d'un coup cos 2θ = cos²θ − sin²θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ.

On utilise aussi souvent les formules d'Euler, qui vont dans l'autre sens :

cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ)) / 2   et   sin θ = (e^(iθ) − e^(−iθ)) / (2i)

Ce sont elles qui permettent de linéariser : transformer un cos³θ en une somme de cosinus d'angles multiples, forme sous laquelle on sait intégrer.

Racines n-ièmes

On cherche les z tels que z^n = w. On écrit w = R e^(iφ) et z = r e^(iθ). L'égalité impose r^n = R et nθ = φ + 2kπ, d'où :

r = R^(1/n)   et   θ = φ/n + 2kπ/n, pour k = 0, 1, …, n−1

Exemple travaillé : les racines cubiques de 8

8 = 8 e^(i·0). Donc r = 8^(1/3) = 2 et θ = 0 + 2kπ/3, pour k = 0, 1, 2 :

• k = 0 : 2 e^(i·0) = 2
• k = 1 : 2 e^(2iπ/3) = 2(−1/2 + i√3/2) = −1 + i√3
• k = 2 : 2 e^(4iπ/3) = −1 − i√3

Trois points de module 2, espacés de 120° : un triangle équilatéral. Et les deux racines complexes sont bien conjuguées, ce qui est le contrôle à faire.

Le second degré à discriminant négatif

C'est l'application la plus fréquente au semestre 1. Pour az² + bz + c = 0 avec a, b, c réels et Δ = b² − 4ac :

La seule nouveauté est le passage de √Δ à i√(−Δ) : comme Δ est négatif, −Δ est positif et sa racine carrée existe.

Exemple travaillé : z² − 2z + 5 = 0

Δ = 4 − 20 = −16, donc √(−Δ) = 4, et les racines sont (2 ± 4i)/2 = 1 ± 2i.

Exercices type

La méthode sur feuille

L'épreuve dure 40 minutes, sans machine. L'ordre qui fait gagner du temps :

1. Lis la forme demandée dans l'énoncé (algébrique ? exponentielle ?). C'est elle qui décide de tout.
2. Dessine le point dès que tu calcules un argument. Le quadrant se lit sur le dessin, et c'est ce qui t'évite l'erreur de π.
3. Pour une division : multiplie par le conjugué du dénominateur. Toujours.
4. Pour une puissance ou une racine : passe en exponentielle. Toujours.
5. Contrôle le module : |z z'| = |z||z'| attrape la plupart des erreurs de calcul en deux secondes.
6. Si les coefficients étaient réels, vérifie que tes racines sont conjuguées.

En résumé

• i² = −1 : seule règle nouvelle, le reste est du calcul algébrique ordinaire.
• Forme algébrique z = a + ib, idéale pour additionner. La partie imaginaire est le réel b, pas ib.
• Le conjugué z̄ = a − ib sert à diviser, car z z̄ = a² + b² est réel.
• Module |z| = √(a² + b²) = longueur ; argument = angle, défini à 2π près. Il faut cosinus et sinus pour ne pas se tromper de quadrant.
• Forme exponentielle z = r e^(iθ), idéale pour multiplier, diviser, élever à une puissance : on multiplie les modules et on additionne les arguments.
• Moivre : (cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ. Euler : cos θ = (e^(iθ) + e^(−iθ))/2.
• Un complexe non nul a n racines n-ièmes, aux sommets d'un polygone régulier.
• Discriminant négatif → deux racines conjuguées (−b ± i√(−Δ))/(2a).

Et ensuite ? Le chapitre Géométrie reprend cette idée de flèche, mais dans l'espace et sans les complexes : vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel, droites et plans.