Statistiques

Vocabulaire

Un caractère quantitatif est discret s'il prend des valeurs isolées (nombre d'enfants), continu s'il peut prendre toute valeur d'un intervalle (une masse) : on le regroupe alors en classes.

L'effectif nᵢ est le nombre d'individus ayant la valeur xᵢ ; la fréquence fᵢ = nᵢ/N est la proportion correspondante. La somme des fréquences vaut toujours 1 : c'est le premier contrôle d'un tableau.

Indicateurs de position

Ils répondent à la question : « où se situe le centre des données ? »

Moyenne

x̄ = (Σ nᵢ xᵢ) / N

C'est le centre de gravité de la série : si on posait les valeurs sur une règle, elle basculerait sur ce point. Elle utilise toutes les valeurs, ce qui est sa force et sa faiblesse.

Médiane

La méthode, en deux temps qu'on n'inverse jamais :

1. Ordonner la série dans l'ordre croissant.
2. Si N est impair, la médiane est la valeur de rang (N+1)/2. Si N est pair, c'est la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2 + 1.

Sur l'exemple des salaires, la médiane vaut 1700 €, bien plus représentative. C'est pourquoi les statistiques sur les revenus sont toujours publiées en médiane.

Quartiles

En pratique sur une série ordonnée de N valeurs : on calcule N/4 et 3N/4 ; si le résultat est entier, on prend la valeur de ce rang (ou, selon la convention de l'énoncé, la moyenne avec la suivante) ; sinon, on arrondit à l'entier supérieur.

Indicateurs de dispersion

Ils répondent à : « les données sont-elles serrées ou étalées ? » Deux séries de même moyenne peuvent être radicalement différentes, et c'est la dispersion qui les distingue.

Étendue et écart interquartile

• Étendue = max − min. Simple, mais entièrement déterminée par les deux valeurs les plus extrêmes : très fragile.
• Écart interquartile = Q₃ − Q₁. C'est l'amplitude des 50 % centraux, insensible aux valeurs extrêmes. On le préfère systématiquement à l'étendue.

Variance et écart-type

V = (Σ nᵢ xᵢ²)/N − x̄²   (formule pratique, dite de König-Huygens)

σ = √V

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. On prend des carrés pour que les écarts positifs et négatifs ne se compensent pas, mais du coup l'unité est au carré, ce qui n'est pas interprétable. D'où l'écart-type, qui revient à l'unité des données.

Pour comparer la dispersion de deux séries d'unités différentes, on utilise le coefficient de variation CV = σ/x̄, sans unité, souvent exprimé en pourcentage.

Boîte à moustaches

Elle résume la série par cinq nombres : minimum, Q₁, médiane, Q₃, maximum.

        ┌────┬──────┐
   ├────┤    │      ├────┤
        └────┴──────┘
   min  Q₁  Me     Q₃   max

La boîte contient les 50 % centraux ; les moustaches vont aux extrêmes. Ce qu'on y lit d'un coup d'œil : le niveau (position de la médiane), la dispersion (largeur de la boîte) et la symétrie (médiane décentrée = série asymétrique). C'est l'outil de comparaison de plusieurs séries par excellence.

Séries à deux variables

On mesure deux caractères sur les mêmes individus (une température et une résistance, une durée d'usage et une usure) et on cherche s'ils sont liés.

Nuage de points

On représente chaque individu par le point (xᵢ, yᵢ). Le point moyen G(x̄, ȳ) est le centre de gravité du nuage. Regarder le nuage avant de calculer quoi que ce soit est indispensable : lui seul révèle une relation courbe, un groupe à part, une valeur aberrante.

Covariance et corrélation

cov(x,y) = (Σ xᵢyᵢ)/N − x̄ȳ

La covariance est positive si les deux variables varient dans le même sens, négative sinon. Mais sa valeur dépend des unités, donc elle ne se compare pas. On la normalise :

Sa lecture :

• r proche de 1 : les points sont presque alignés sur une droite croissante ;
• r proche de −1 : presque alignés sur une droite décroissante ;
• r proche de 0 : aucune relation linéaire, ce qui n'exclut pas une relation d'un autre type.

Droite de régression

Deux faits à retenir : la droite passe toujours par le point moyen G(x̄, ȳ) (c'est d'ailleurs le contrôle à faire), et le coefficient directeur a le même signe que r.

L'ajustement sert à interpoler (estimer une valeur à l'intérieur du domaine observé) et, avec prudence, à extrapoler. L'extrapolation loin des données observées est le péché classique : rien ne garantit que la relation linéaire se prolonge.

Échantillonnage et estimation

Jusqu'ici on décrivait des données. Ici on veut en tirer une conclusion sur une population qu'on n'a pas entièrement observée.

Une estimation n'est jamais exacte. Ce qu'on peut donner, c'est un intervalle et un niveau de confiance.

Exemple travaillé. Sur 400 pièces contrôlées, 24 sont défectueuses.

f = 24/400 = 0,06, et 1/√400 = 1/20 = 0,05.

L'intervalle simplifié est [0,01 ; 0,11]. On peut affirmer, avec 95 % de confiance, que le taux réel de défauts est entre 1 % et 11 %.

Et la conséquence pratique la plus importante : la largeur de l'intervalle est en 1/√n. Pour diviser l'incertitude par deux, il faut multiplier la taille de l'échantillon par quatre. C'est ce qui rend la précision coûteuse.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Ordonne la série avant tout calcul de médiane ou de quartile. C'est l'oubli le plus fréquent.
2. Vérifie que la somme des effectifs correspond bien à N, et que les fréquences somment à 1.
3. Donne toujours moyenne et écart-type ensemble : l'un sans l'autre ne décrit rien.
4. Compare moyenne et médiane : leur écart est déjà une conclusion sur la symétrie de la série.
5. Pour deux variables, calcule r avant d'écrire la droite, et justifie que l'ajustement est légitime.
6. Contrôle la droite : elle doit passer par le point moyen.
7. Ne conclus jamais à une causalité à partir d'une corrélation. Écris-le, c'est souvent une question à part entière.
8. Pour un intervalle de confiance, rappelle la taille de l'échantillon : c'est elle qui fait la précision.

En résumé

• Moyenne : centre de gravité, utilise tout, sensible aux extrêmes. Médiane : partage en deux moitiés, robuste.
• Quartiles Q₁, Q₃ → écart interquartile Q₃ − Q₁, dispersion des 50 % centraux.
• Variance V = (Σnᵢxᵢ²)/N − x̄², écart-type σ = √V, dans l'unité des données.
• Ajouter une constante ne change pas l'écart-type ; multiplier par k multiplie moyenne et écart-type par k.
• Boîte à moustaches : min, Q₁, Me, Q₃, max, pour comparer plusieurs séries d'un coup d'œil.
• Corrélation r = cov/(σₓσᵧ), entre −1 et 1. Proche de ±1 = points alignés.
• Corrélation ≠ causalité, et r = 0 ≠ indépendance. Regarde toujours le nuage.
• Régression : a = cov/V(x), b = ȳ − ax̄. La droite passe par le point moyen.
• Intervalle de confiance à 95 % d'une proportion : f ± 1/√n. Pour deux fois plus de précision, quatre fois plus de données.

Et ensuite ? Le semestre 3 revient à l'analyse, avec deux épreuves plus courtes tournées vers la physique : les oscillations (équations différentielles du second ordre) et les intégrales multiples.