Équations différentielles et oscillations

Où on va

Une masse au bout d'un ressort, un pendule, un circuit RLC, une aile d'avion, un pont sous le vent : ce sont physiquement des objets sans rapport, et ils obéissent tous à la même équation. C'est l'un des faits les plus utiles de toute la physique. Apprendre à résoudre y'' + ay' + by = f, c'est apprendre à traiter d'un coup tous les systèmes qui oscillent. Ce chapitre couvre le bloc Équations différentielles et oscillations de l'épreuve « Outils pour la physique » du semestre 3 (30 minutes, sur feuille).

L'équation du second ordre

Définition

Une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants s'écrit

a y'' + b y' + c y = f(x), avec a, b, c constants et a ≠ 0.

La structure de résolution est exactement la même qu'au premier ordre :

Le théorème de structure, à nouveau

Solution générale = solution générale de l'équation homogène + une solution particulière de l'équation complète.
Seule différence : au second ordre, la solution homogène contient deux constantes libres. Il faudra donc deux conditions initiales pour les déterminer, typiquement une position et une vitesse de départ.

L'équation homogène et l'équation caractéristique

Pour résoudre a y'' + b y' + c y = 0, on cherche des solutions de la forme y = e^(rx). Alors y' = r e^(rx) et y'' = r² e^(rx), et l'équation devient :

e^(rx) (a r² + b r + c) = 0

Comme l'exponentielle ne s'annule jamais, tout se ramène à une équation du second degré ordinaire.

Définition

L'équation caractéristique est a r² + b r + c = 0. Son discriminant Δ = b² − 4ac décide de la forme des solutions.

C'est le point remarquable du chapitre : un problème d'analyse se ramène entièrement à une équation du second degré, et les trois cas du discriminant correspondent à trois comportements physiques distincts.

Les trois cas

Cas 1 : Δ > 0 : deux racines réelles distinctes r₁ et r₂.

y(x) = A e^(r₁x) + B e^(r₂x)

Aucune oscillation : une somme de deux exponentielles. Si les deux racines sont négatives, la solution décroît vers 0 sans jamais changer de signe. C'est le régime apériodique (ou surcritique) : le système revient à l'équilibre sans le dépasser, comme une porte munie d'un ferme-porte bien serré.

Cas 2 : Δ = 0 : une racine double r₀ = −b/(2a).

y(x) = (A + Bx) e^(r₀x)

Le facteur x devant la seconde constante est indispensable : sans lui, on n'aurait qu'une seule solution indépendante au lieu de deux. C'est le régime critique, celui du retour à l'équilibre le plus rapide possible sans dépassement. C'est le réglage recherché pour un amortisseur de voiture ou un galvanomètre.

Cas 3 : Δ < 0 : deux racines complexes conjuguées r = α ± iβ, avec α = −b/(2a) et β = √(−Δ)/(2a).

y(x) = e^(αx) (A cos βx + B sin βx)

C'est le régime pseudo-périodique : une oscillation de pulsation β, dont l'amplitude est modulée par l'enveloppe e^(αx). Si α < 0, les oscillations s'amortissent ; si α = 0, elles durent indéfiniment.

Le tableau à retenir

Δ > 0 → deux exponentielles → pas d'oscillation, retour lent (apériodique).
Δ = 0 → (A + Bx)e^(r₀x) → retour le plus rapide sans dépassement (critique).
Δ < 0 → e^(αx)(A cos βx + B sin βx) → oscillations amorties (pseudo-périodique).
Et dans tous les cas, c'est le signe de la partie réelle des racines qui dit si le système revient à l'équilibre (α négatif) ou s'emballe (α positif).

L'oscillateur harmonique

C'est le cas le plus simple et le plus fondamental : pas de frottement, donc pas de terme en y'.

y'' + ω₀² y = 0

L'équation caractéristique est r² + ω₀² = 0, dont les racines sont ±iω₀ : purement imaginaires. On est dans le cas 3 avec α = 0, d'où :

y(t) = A cos(ω₀t) + B sin(ω₀t)

Définitions

ω₀ est la pulsation propre, en rad/s. La période est T = 2π/ω₀ et la fréquence f = 1/T = ω₀/(2π).

Cette solution s'écrit aussi sous forme d'une seule sinusoïde :

y(t) = C cos(ω₀t − φ), avec C = √(A² + B²) l'amplitude et φ la phase à l'origine.

Les deux écritures sont équivalentes : la première est commode pour appliquer les conditions initiales, la seconde pour lire l'amplitude. On passe de l'une à l'autre en développant cos(ω₀t − φ).

Exemples de systèmes régis par cette équation :

Système	Équation	Pulsation propre
Masse-ressort	`m y'' + k y = 0`	`ω₀ = √(k/m)`
Pendule (petites oscillations)	`θ'' + (g/L) θ = 0`	`ω₀ = √(g/L)`
Circuit LC	`L q'' + q/C = 0`	`ω₀ = 1/√(LC)`

Ce que ce tableau raconte

Trois dispositifs sans aucun rapport physique, et la même équation. C'est pour cela qu'on peut simuler un système mécanique par un circuit électrique, et que le vocabulaire (résonance, amortissement, facteur de qualité) est commun à toutes ces disciplines.

L'oscillateur amorti

On ajoute un frottement proportionnel à la vitesse :

y'' + 2λ y' + ω₀² y = 0

Le coefficient λ est le facteur d'amortissement (λ > 0). Le discriminant réduit vaut λ² − ω₀², ce qui donne les trois régimes selon la comparaison entre λ et ω₀ :

Condition	Régime	Comportement
`λ > ω₀`	apériodique	retour lent, sans dépassement
`λ = ω₀`	critique	retour le plus rapide sans dépassement
`λ < ω₀`	pseudo-périodique	oscillations amorties

Dans le troisième cas, les racines sont −λ ± i√(ω₀² − λ²), et la pseudo-pulsation vaut ω = √(ω₀² − λ²). Elle est toujours inférieure à la pulsation propre : l'amortissement ralentit les oscillations, en plus de les réduire.

L'amplitude décroît comme e^(−λt). La quantité 1/λ est le temps caractéristique d'extinction.

Exemple travaillé. y'' + 4y' + 3y = 0, avec y(0) = 2 et y'(0) = 0.

Équation caractéristique : r² + 4r + 3 = 0, Δ = 16 − 12 = 4 > 0, racines r = (−4 ± 2)/2, soit −1 et −3.

y(t) = A e^(−t) + B e^(−3t)

Conditions initiales : y(0) = A + B = 2, et y'(t) = −A e^(−t) − 3B e^(−3t) donne y'(0) = −A − 3B = 0, donc A = −3B. En reportant : −3B + B = 2, donc B = −1 et A = 3.

y(t) = 3e^(−t) − e^(−3t)

Régime apériodique : les deux racines sont réelles et négatives, la solution tend vers 0 sans osciller.

Le régime forcé et la résonance

On excite maintenant le système par une force extérieure, typiquement sinusoïdale :

y'' + 2λ y' + ω₀² y = F cos(ωt)

La solution générale est la somme de deux parties, dont l'interprétation physique est essentielle :

la solution homogène, qui contient e^(−λt) et s'éteint : c'est le régime transitoire ;
la solution particulière, qui oscille à la pulsation ω de l'excitation et subsiste : c'est le régime permanent (ou forcé).

Le résultat physique central

Au bout de quelques temps caractéristiques, le système oublie ses conditions initiales et oscille à la pulsation qu'on lui impose, pas à la sienne. C'est pourquoi, en pratique, on ne s'intéresse qu'au régime permanent : le transitoire a disparu.

On cherche la solution particulière sous la forme y = P cos(ωt) + Q sin(ωt), on injecte, et on identifie les coefficients de cos et de sin.

L'amplitude du régime permanent dépend de ω, et elle passe par un maximum lorsque ω est proche de ω₀ : c'est la résonance.

Le cas non amorti

Quand λ = 0 et ω = ω₀, la forme P cos(ω₀t) + Q sin(ω₀t) est déjà solution de l'homogène : elle ne peut pas convenir. Il faut la multiplier par t, et la solution particulière devient proportionnelle à t sin(ω₀t), une amplitude qui croît linéairement sans limite. C'est la résonance destructrice : sans amortissement, le système finit par se casser. Retiens le lien : c'est le même « cas résonnant » qu'au premier ordre, quand la forme essayée était déjà solution de l'homogène.

En pratique, tout système réel possède un amortissement, qui borne l'amplitude à la résonance. Plus λ est petit, plus le pic est haut et étroit : c'est le facteur de qualité du système, recherché dans un filtre sélectif, redouté dans une structure mécanique.

Conditions initiales

Deux constantes, donc deux conditions. Elles portent presque toujours sur la position et la vitesse initiales.

L'ordre à respecter

On écrit d'abord la solution complète (homogène + particulière), puis on applique les conditions initiales. Les appliquer sur la seule partie homogène est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle produit une réponse fausse qui a l'air correcte.

Pense à dériver la solution avant d'utiliser la condition sur y'(0), et n'oublie pas de dériver aussi la solution particulière.

Exercices type

1. Résoudre y'' − 5y' + 6y = 0

r² − 5r + 6 = 0, Δ = 25 − 24 = 1, racines (5 ± 1)/2 = 3 et 2.

y(x) = A e^(3x) + B e^(2x)

Les deux racines sont positives : toutes les solutions non nulles divergent.

2. Résoudre y'' + 4y' + 4y = 0 avec y(0) = 1 et y'(0) = 0

r² + 4r + 4 = (r+2)² = 0, racine double r = −2 → régime critique.

y(x) = (A + Bx)e^(−2x)

y(0) = A = 1. Et y'(x) = B e^(−2x) − 2(A + Bx)e^(−2x), donc y'(0) = B − 2A = 0, d'où B = 2.

y(x) = (1 + 2x)e^(−2x)

3. Résoudre y'' + 9y = 0 avec y(0) = 0 et y'(0) = 3

r² + 9 = 0 → r = ±3i, donc ω₀ = 3.

y(t) = A cos 3t + B sin 3t

y(0) = A = 0. Et y'(t) = −3A sin 3t + 3B cos 3t, donc y'(0) = 3B = 3 et B = 1.

y(t) = sin(3t), oscillation d'amplitude 1 et de période T = 2π/3 ≈ 2,09 s.

4. Résoudre y'' + 2y' + 5y = 0 et donner la pseudo-période

r² + 2r + 5 = 0, Δ = 4 − 20 = −16, racines (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i.

y(t) = e^(−t)(A cos 2t + B sin 2t)

Régime pseudo-périodique : pseudo-pulsation ω = 2, donc pseudo-période T = 2π/2 = π ≈ 3,14 s. L'amplitude décroît comme e^(−t), avec un temps caractéristique de 1 s.

5. Un circuit RLC a L = 1 H, C = 1 F. Quelle valeur de R donne le régime critique ?

L'équation est L q'' + R q' + q/C = 0, soit ici q'' + R q' + q = 0.

Le régime critique correspond à Δ = 0, c'est-à-dire R² − 4 = 0, donc R = 2 Ω.

En dessous : oscillations amorties. Au-dessus : retour apériodique, sans oscillation.

6. Résoudre y'' + y = 2

Homogène : r² + 1 = 0 → y_h = A cos t + B sin t.

Particulière : le second membre est constant, on essaie y = k. Alors 0 + k = 2, donc k = 2.

y(t) = A cos t + B sin t + 2

Le système oscille autour de la valeur d'équilibre 2, et non autour de 0 : le second membre constant a déplacé la position de repos.

La méthode sur feuille

Normalise : coefficient 1 devant y''.
Écris l'équation caractéristique et calcule Δ. C'est le nœud de tout l'exercice.
Applique la forme correspondant au cas : les trois formes doivent être sues par cœur, il n'y a pas le temps de les redémontrer en 30 minutes.
Nomme le régime (apériodique, critique, pseudo-périodique) : c'est souvent une question à part entière.
Pour un second membre, cherche la solution particulière de la même forme, en vérifiant qu'elle n'est pas déjà solution de l'homogène.
Additionne, puis applique les deux conditions initiales sur la solution complète.
Contrôle : dérive deux fois et réinjecte. Vérifie aussi le comportement à l'infini. Un système amorti doit tendre vers sa position d'équilibre.

En résumé

a y'' + b y' + c y = f : la structure est celle du premier ordre, avec deux constantes et donc deux conditions initiales.
Tout repose sur l'équation caractéristique ar² + br + c = 0.
Δ > 0 → A e^(r₁x) + B e^(r₂x) → apériodique.
Δ = 0 → (A + Bx)e^(r₀x) → critique, le retour le plus rapide sans dépassement.
Δ < 0 → e^(αx)(A cos βx + B sin βx) → pseudo-périodique, oscillations amorties.
Le signe de α (partie réelle) dit si le système revient à l'équilibre ou diverge.
Oscillateur harmonique y'' + ω₀²y = 0 : ω₀ pulsation propre, T = 2π/ω₀.
Amorti y'' + 2λy' + ω₀²y = 0 : régime selon la comparaison de λ et ω₀ ; pseudo-pulsation ω = √(ω₀² − λ²) < ω₀.
Régime forcé : le transitoire s'éteint, le permanent oscille à la pulsation imposée. Résonance quand ω ≈ ω₀ ; sans amortissement, l'amplitude croît en t et diverge.
Conditions initiales en dernier, sur la solution complète.

Et ensuite ? Le second bloc de la même épreuve, les Intégrales multiples, étend l'intégration à des domaines du plan et de l'espace : aires, volumes, masses, centres de gravité.