Intégrales multiples

Où on va

Une intégrale simple accumule une grandeur le long d'un segment. Mais une plaque a une masse répartie sur une surface, un solide a une inertie répartie dans un volume, et un champ traverse une région entière. Il faut donc savoir accumuler sur un domaine à deux ou trois dimensions. La bonne nouvelle : on ne fait que des intégrales simples, les unes après les autres. Ce chapitre couvre le bloc Intégrales multiples de l'épreuve « Outils pour la physique » du semestre 3 (30 minutes, sur feuille).

L'idée

Définition

L'intégrale double de f sur un domaine D du plan, notée ∬_D f(x,y) dx dy, est la limite des sommes Σ f(xᵢ,yᵢ) ΔA quand on découpe D en petits morceaux d'aire ΔA de plus en plus fins.

Trois lectures selon ce qu'on intègre :

Ce qu'on intègre	Ce qu'on obtient
`f(x,y) ⩾ 0`	le volume entre la surface `z = f(x,y)` et le domaine D
`1`	l'aire de D
une densité surfacique `ρ(x,y)`	la masse de la plaque D

C'est le même passage que de la longueur à l'aire : au lieu de découper un segment en petits dx, on découpe une surface en petits dx dy.

Le théorème de Fubini

Théorème

Sous des hypothèses vérifiées pour toutes les fonctions du programme, une intégrale double se calcule comme deux intégrales simples successives, et l'ordre peut être choisi librement :

∬_D f dx dy = ∫ ( ∫ f dx ) dy = ∫ ( ∫ f dy ) dx

La mécanique de calcul

On intègre d'abord par rapport à une variable, en traitant l'autre comme une constante, exactement comme on dérive partiellement. On obtient une fonction de la seule variable restante, qu'on intègre ensuite normalement. Il n'y a rien de nouveau à savoir calculer : uniquement à savoir écrire les bornes.

Sur un rectangle

Quand D = [a;b] × [c;d], les bornes sont constantes et l'ordre n'a aucune importance.

Exemple travaillé. ∬ x y dx dy sur [0;2] × [0;3].

= ∫ de 0 à 3 ( ∫ de 0 à 2 de xy dx ) dy

À l'intérieur, y est une constante : ∫ de 0 à 2 de xy dx = y [x²/2] de 0 à 2 = 2y.

= ∫ de 0 à 3 de 2y dy = [y²] de 0 à 3 = 9

Cas particulier commode : si f(x,y) = g(x) h(y) et que le domaine est un rectangle, l'intégrale double se factorise en produit de deux intégrales simples. Ici : (∫ de 0 à 2 de x dx)(∫ de 0 à 3 de y dy) = 2 × 4,5 = 9 ✓, mais cette factorisation ne vaut que sur un rectangle.

Sur un domaine quelconque

C'est là qu'est la vraie difficulté du chapitre, et elle est géométrique, pas calculatoire.

Domaine simple selon y

D = { (x,y) : a ⩽ x ⩽ b, φ₁(x) ⩽ y ⩽ φ₂(x) }

∬_D f dx dy = ∫ de a à b ( ∫ de φ₁(x) à φ₂(x) de f(x,y) dy ) dx

La règle des bornes

Les bornes de l'intégrale intérieure peuvent dépendre de l'autre variable ; celles de l'intégrale extérieure doivent être des constantes. Si tu obtiens un « x » dans les bornes extérieures, tu t'es trompé quelque part : c'est le contrôle le plus rapide sur ce chapitre.

La méthode qui évite toutes les erreurs de bornes

Dessine le domaine. Puis, pour intégrer d'abord en y : trace une flèche verticale qui traverse le domaine. Elle entre par la courbe du bas (borne inférieure) et sort par celle du haut (borne supérieure). Fais ensuite balayer cette flèche de gauche à droite : les positions extrêmes donnent les bornes en x. Cette méthode est infaillible et prend dix secondes.

Exemple travaillé. Calculer ∬_D x dx dy sur le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (1,1).

Le domaine est délimité par y = 0 en bas, y = x en haut, et x va de 0 à 1.

∬_D x dx dy = ∫ de 0 à 1 ( ∫ de 0 à x de x dy ) dx = ∫ de 0 à 1 de x·[y] de 0 à x dx = ∫ de 0 à 1 de x² dx = 1/3

Intervertir l'ordre

Le même domaine se décrit de deux façons. Dans l'exemple du triangle, on peut aussi dire : y va de 0 à 1, et pour chaque y, x va de y à 1 (flèche horizontale, qui entre par la droite x = y et sort par x = 1).

∫ de 0 à 1 ( ∫ de y à 1 de x dx ) dy = ∫ de 0 à 1 de [x²/2] de y à 1 dy = ∫ de 0 à 1 de (1 − y²)/2 dy = (1/2)(1 − 1/3) = 1/3 ✓

Les deux ordres donnent le même résultat, mais pas toujours la même difficulté.

Pourquoi c'est une question d'examen

Certaines intégrales sont impossibles dans un ordre et immédiates dans l'autre. L'exemple classique est ∬ e^(y²) dx dy sur le triangle 0 ⩽ x ⩽ y ⩽ 1 : intégrer d'abord en y demanderait une primitive de e^(y²), qui n'existe pas sous forme élémentaire. En intégrant d'abord en x, il apparaît un facteur y qui rend la seconde intégration immédiate par la forme u'e^u. Quand tu bloques, essaie l'autre ordre avant de chercher une astuce.

Coordonnées polaires

Dès qu'un disque, un secteur ou une couronne apparaît, les bornes cartésiennes deviennent des racines carrées. Le changement de variables les fait disparaître.

x = r cos θ y = r sin θ avec r ⩾ 0 et θ ∈ [0 ; 2π[

Théorème

dx dy = r dr dθ

∬_D f(x,y) dx dy = ∬_D' f(r cos θ, r sin θ) · r · dr dθ

Le facteur r ne s'oublie pas

Ce r est le jacobien du changement de variables. Il traduit un fait géométrique : un petit rectangle dr × dθ loin du centre couvre une aire plus grande que le même rectangle près du centre, parce que l'arc de longueur r dθ s'allonge avec r. L'oublier est l'erreur du chapitre, et elle donne un résultat faux sans aucun signe d'alerte.

Le grand avantage : sur un disque de rayon R centré à l'origine, le domaine devient le rectangle 0 ⩽ r ⩽ R, 0 ⩽ θ ⩽ 2π. Des bornes constantes, donc.

Exemple travaillé. Aire d'un disque de rayon R.

A = ∬ 1 dx dy = ∫ de 0 à 2π ∫ de 0 à R de r dr dθ = ∫ de 0 à 2π de [r²/2] de 0 à R dθ = ∫ de 0 à 2π de R²/2 dθ = πR² ✓

Le résultat connu, retrouvé en trois lignes, et qu'on n'aurait pas atteint aussi simplement en cartésien.

Exemple travaillé. ∬ (x² + y²) dx dy sur le disque de rayon 2.

En polaires, x² + y² = r², donc :

= ∫ de 0 à 2π ∫ de 0 à 2 de r² · r dr dθ = ∫ de 0 à 2π de [r⁴/4] de 0 à 2 dθ = ∫ de 0 à 2π de 4 dθ = 8π

Note comme l'expression x² + y² devient triviale : c'est le signal qu'il faut passer en polaires.

Quand passer en polaires

Dès que tu vois un disque, une couronne, un secteur dans le domaine, ou une expression en x² + y² dans la fonction. Ces deux indices suffisent à décider.

Intégrales triples

Même principe, une dimension de plus. ∭_V f(x,y,z) dx dy dz s'évalue par trois intégrations successives, et ∭_V 1 dV donne le volume de V.

Deux systèmes de coordonnées adaptés, avec leur jacobien :

Coordonnées cylindriques

Pour un cylindre, un tube, tout ce qui a un axe de révolution :

x = r cos θ, y = r sin θ, z = z et dV = r dr dθ dz

Coordonnées sphériques

Pour une boule, une calotte, un champ central :

x = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φ et dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ

avec ρ ⩾ 0 la distance à l'origine, φ ∈ [0;π] l'angle depuis l'axe Oz (colatitude), θ ∈ [0;2π[ l'angle dans le plan.

Exemple travaillé. Volume de la boule de rayon R.

V = ∫ de 0 à 2π ∫ de 0 à π ∫ de 0 à R de ρ² sin φ dρ dφ dθ

Le domaine étant un « rectangle » en (ρ, φ, θ), les trois intégrales se séparent :

= (∫ de 0 à 2π dθ)(∫ de 0 à π de sin φ dφ)(∫ de 0 à R de ρ² dρ) = 2π × 2 × R³/3 = (4/3)πR³ ✓

Applications physiques

Ces formules sont la raison d'être du chapitre, et elles tombent régulièrement.

Masse d'une plaque de densité surfacique ρ : m = ∬_D ρ(x,y) dx dy
Centre de gravité : x_G = (1/m) ∬_D x ρ dx dy, et de même pour y_G
Moment d'inertie par rapport à un axe : I = ∬_D d² ρ dx dy, où d est la distance à l'axe
Valeur moyenne de f sur D : (1/aire(D)) ∬_D f dx dy

Toutes suivent le même schéma : on intègre la grandeur locale, pondérée par ce qui l'affecte, sur tout le domaine.

Exercices type

1. ∬ (x + y) dx dy sur [0;1] × [0;2]

∫ de 0 à 2 ( ∫ de 0 à 1 de (x+y) dx ) dy = ∫ de 0 à 2 de [x²/2 + xy] de 0 à 1 dy = ∫ de 0 à 2 de (1/2 + y) dy

= [y/2 + y²/2] de 0 à 2 = 1 + 2 = 3

(La fonction n'étant pas un produit g(x)h(y), la factorisation ne s'applique pas ici.)

2. Aire du domaine compris entre y = x² et y = x

Les courbes se coupent en x = 0 et x = 1, et sur cet intervalle x² ⩽ x.

A = ∫ de 0 à 1 ( ∫ de x² à x de 1 dy ) dx = ∫ de 0 à 1 de (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6

On retrouve le calcul d'aire entre deux courbes vu au semestre 1 : c'est le même, écrit en intégrale double.

3. ∬ e^(−(x²+y²)) dx dy sur le disque de rayon 1

L'expression x² + y² et le disque : passage en polaires obligatoire.

= ∫ de 0 à 2π ∫ de 0 à 1 de e^(−r²) · r dr dθ

L'intégrale en r est de la forme u'e^u au facteur −1/2 près : ∫ de 0 à 1 de r e^(−r²) dr = [−e^(−r²)/2] de 0 à 1 = (1 − e^(−1))/2.

= 2π × (1 − e^(−1))/2 = π(1 − 1/e) ≈ 1,99

Sans le facteur r du jacobien, cette intégrale serait incalculable : c'est lui qui fournit le u'.

4. Volume sous z = 4 − x² − y² au-dessus du disque de rayon 2

En polaires, z = 4 − r², qui est bien positif pour r ⩽ 2.

V = ∫ de 0 à 2π ∫ de 0 à 2 de (4 − r²) r dr dθ = 2π ∫ de 0 à 2 de (4r − r³) dr

= 2π [2r² − r⁴/4] de 0 à 2 = 2π (8 − 4) = 8π

5. Masse d'une plaque carrée [0;1]² de densité ρ(x,y) = x + y

m = ∫ de 0 à 1 ∫ de 0 à 1 de (x + y) dx dy = ∫ de 0 à 1 de (1/2 + y) dy = 1/2 + 1/2 = 1

Par symétrie, le centre de gravité vérifie x_G = y_G. Et x_G = ∫∫ x(x+y) dxdy = ∫ de 0 à 1 (1/3 + y/2) dy = 1/3 + 1/4 = 7/12, décalé vers le coin le plus dense, comme attendu.

6. Écrire ∫ de 0 à 1 ∫ de x à 1 de f(x,y) dy dx dans l'autre ordre

Le domaine est { 0 ⩽ x ⩽ 1, x ⩽ y ⩽ 1 }, c'est-à-dire le triangle au-dessus de la diagonale.

Décrit en partant de y : y va de 0 à 1, et pour chaque y, x va de 0 à y.

∫ de 0 à 1 ∫ de 0 à y de f(x,y) dx dy

C'est exactement l'interversion qui rend calculable f(x,y) = e^(y²).

La méthode sur feuille

Dessine le domaine. Ce n'est pas facultatif : c'est là que se jouent les points.
Choisis l'ordre et trace la flèche : entrée / sortie donnent les bornes intérieures, le balayage donne les bornes extérieures.
Contrôle que les bornes extérieures sont des constantes.
Si tu vois un disque ou un x² + y², passe en polaires, et écris le r immédiatement, avant d'oublier.
Si le calcul bloque, essaie l'autre ordre avant de chercher une astuce.
Contrôle du résultat : une aire, un volume et une masse sont positifs. Et pour un domaine symétrique, une fonction impaire donne une intégrale nulle, un raccourci qui fait gagner de longues minutes.

En résumé

Une intégrale double, c'est un volume (si f ⩾ 0), une aire (si f = 1), ou une masse (si f est une densité).
Fubini : deux intégrales simples successives, en traitant l'autre variable comme une constante. L'ordre est libre.
Les bornes intérieures peuvent dépendre de l'autre variable, les bornes extérieures sont constantes.
La méthode de la flèche sur un dessin donne les bornes sans erreur.
Intervertir l'ordre rend parfois calculable une intégrale qui ne l'était pas.
Polaires : x = r cos θ, y = r sin θ, et dx dy = r dr dθ. Le jacobien r ne s'oublie jamais.
Indices pour passer en polaires : un disque dans le domaine, un x² + y² dans la fonction.
Cylindriques : dV = r dr dθ dz. Sphériques : dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ.
Applications : masse, centre de gravité, moment d'inertie, valeur moyenne.

Et ensuite ? La seconde épreuve du semestre 3, l'Analyse en trois dimensions, étudie les fonctions de plusieurs variables et les opérateurs qui agissent sur elles : gradient, divergence, rotationnel.

Objectifs du Chapitre