Fonctions de plusieurs variables
Objectifs du Chapitre
Déterminer le domaine de définition d'une fonction de deux variables et interpréter ses lignes de niveau.
Calculer des dérivées partielles d'ordre 1 et 2, et appliquer le théorème de Schwarz.
Écrire le gradient et savoir ce qu'il indique géométriquement.
Écrire l'équation du plan tangent et la différentielle totale.
Utiliser la différentielle pour estimer une propagation d'incertitude.
Trouver les points critiques et déterminer leur nature.
Une fonction de deux variables
Une fonction de deux variables associe à chaque couple (x, y) d'un domaine D ⊂ ℝ² un nombre réel f(x, y).
Son graphe n'est plus une courbe mais une surface dans l'espace, d'équation z = f(x, y). On peut penser à un relief : f(x,y) est l'altitude au point de coordonnées (x, y).
Le domaine de définition obéit aux mêmes trois interdits qu'en une variable (dénominateur non nul, radicande positif, argument du log strictement positif), sauf qu'il s'agit maintenant d'une région du plan, qu'on décrit et qu'on dessine.
Lignes de niveau
La ligne de niveau de valeur k est l'ensemble des points (x,y) tels que f(x,y) = k.
C'est exactement le principe d'une carte topographique : chaque courbe joint les points de même altitude. Et la lecture est la même : des lignes serrées signalent une pente forte, des lignes espacées un terrain plat.
Pour f(x,y) = x² + y², les lignes de niveau sont les cercles x² + y² = k : la surface est un paraboloïde, un bol posé sur l'origine.
Dérivées partielles
Comment dériver une fonction qui dépend de deux variables ? On les traite une à la fois.
La dérivée partielle de f par rapport à x, notée ∂f/∂x, s'obtient en dérivant f par rapport à x en traitant y comme une constante. Symétriquement pour ∂f/∂y.
Il n'y a donc aucune règle nouvelle à apprendre : ce sont les dérivées usuelles, avec une variable gelée.
Exemple travaillé. f(x, y) = x³y² + 3x − 5y
∂f/∂x = 3x²y² + 3(le terme−5yest une constante vis-à-vis de x, sa dérivée est nulle)∂f/∂y = 2x³y − 5(le terme3xdisparaît de la même façon)
x³y², quand on dérive par rapport à x, le facteur y² reste : la dérivée est 3x²y², pas 3x². Le réflexe : remplace mentalement y par 7 et dérive, puis remets y.
L'interprétation géométrique : ∂f/∂x est la pente de la surface dans la direction de l'axe des x, c'est-à-dire la pente qu'on ressentirait en marchant plein est sur le relief.
Dérivées secondes et théorème de Schwarz
On peut redériver, ce qui donne quatre dérivées secondes : ∂²f/∂x², ∂²f/∂y², et les deux croisées ∂²f/∂x∂y et ∂²f/∂y∂x.
si les dérivées secondes sont continues (ce qui est le cas de toutes les fonctions du programme), les dérivées croisées sont égales :
∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
L'ordre de dérivation n'a donc pas d'importance. En pratique, c'est un contrôle gratuit : calcule les deux croisées, elles doivent coïncider. Si ce n'est pas le cas, une des dérivées premières est fausse.
Sur l'exemple : ∂²f/∂x∂y = ∂(3x²y² + 3)/∂y = 6x²y, et ∂²f/∂y∂x = ∂(2x³y − 5)/∂x = 6x²y ✓
Gradient
Le gradient de f est le vecteur formé de ses dérivées partielles :
grad f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )
C'est un vecteur, alors que f est un nombre. Cette transformation d'un champ scalaire en champ vectoriel est l'idée centrale du chapitre suivant.
2. Sa norme est la valeur de cette pente maximale.
3. Il est perpendiculaire aux lignes de niveau. Logique : le long d'une ligne de niveau, l'altitude ne change pas, donc la direction de plus grande variation lui est orthogonale.
C'est ce qui fait du gradient l'outil de base de toutes les méthodes d'optimisation : pour trouver un minimum, on avance dans la direction opposée au gradient. C'est la « descente de gradient », qui est aussi l'algorithme au cœur de l'apprentissage automatique.
En dimension 3, la définition s'étend sans changement : grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z).
Plan tangent et différentielle
En une variable, la tangente approchait la courbe. Ici, c'est un plan qui approche la surface.
En (a, b) :
z = f(a,b) + (∂f/∂x)(a,b) · (x − a) + (∂f/∂y)(a,b) · (y − b)
On reconnaît la structure de la tangente : la valeur au point, plus la pente fois le déplacement, une fois dans chaque direction.
La différentielle totale de f est
df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy
Elle exprime la variation de f provoquée par de petites variations dx et dy : chaque variable contribue proportionnellement à la sensibilité de f dans sa direction.
Propagation des incertitudes
C'est l'application concrète la plus fréquente, et elle tombe régulièrement à l'examen.
Δf ≈ |∂f/∂x| Δx + |∂f/∂y| Δy
Les valeurs absolues correspondent au cas le plus défavorable, où toutes les erreurs s'ajoutent.
Exemple travaillé. L'aire d'un rectangle est S = L × l, avec L = 10 ± 0,1 cm et l = 5 ± 0,05 cm.
∂S/∂L = l = 5 et ∂S/∂l = L = 10
ΔS ≈ 5 × 0,1 + 10 × 0,05 = 0,5 + 0,5 = 1 cm²
L'aire vaut donc 50 ± 1 cm², soit une incertitude relative de 2 % : la somme des incertitudes relatives sur L (1 %) et sur l (1 %). C'est un résultat général pour un produit, et il vaut la peine d'être retenu.
Règle de la chaîne
Quand x et y dépendent eux-mêmes d'un paramètre t, f devient une fonction de t seul, et :
df/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
C'est la dérivée composée à plusieurs entrées : on somme les contributions de chaque chemin par lequel t influence f. En physique, cette formule donne la variation d'une grandeur le long d'une trajectoire.
Extremums
C'est la finalité du chapitre, et la question la plus fréquente en épreuve.
Étape 1 : les points critiques
Un point critique est un point où toutes les dérivées partielles s'annulent :
∂f/∂x = 0 et ∂f/∂y = 0
C'est une condition nécessaire d'extremum : en un sommet ou un creux, le plan tangent est horizontal. Elle n'est pas suffisante. Il faut ensuite déterminer la nature du point.
En pratique, on résout le système formé par les deux équations. C'est souvent là qu'est le calcul.
Étape 2 : la nature du point critique
On calcule les trois dérivées secondes au point critique :
r = ∂²f/∂x² s = ∂²f/∂x∂y t = ∂²f/∂y²
puis le discriminant rt − s².
| Condition | Nature du point |
|---|---|
rt − s² > 0 et r > 0 | minimum local |
rt − s² > 0 et r < 0 | maximum local |
rt − s² < 0 | point-selle (col) : ni l'un ni l'autre |
rt − s² = 0 | cas douteux, la méthode ne conclut pas |
f'(x) = 0 ne suffit plus. Le point-selle est la réponse correcte à beaucoup de questions d'examen, ne cherche pas à tout prix un extremum.
Exemple travaillé. f(x,y) = x² + y² − 4x − 6y + 5
Points critiques : ∂f/∂x = 2x − 4 = 0 donne x = 2 ; ∂f/∂y = 2y − 6 = 0 donne y = 3. Un seul point critique : (2, 3).
Dérivées secondes : r = 2, s = 0, t = 2. Donc rt − s² = 4 > 0 et r = 2 > 0.
C'est un minimum local, de valeur f(2,3) = 4 + 9 − 8 − 18 + 5 = −8.
Contrôle par une autre voie : en complétant les carrés, f = (x−2)² + (y−3)² − 8, qui est manifestement minimale en (2,3) et vaut −8 ✓
Exemple travaillé : un point-selle. f(x,y) = x² − y²
∂f/∂x = 2x = 0 et ∂f/∂y = −2y = 0 : point critique (0,0).
r = 2, s = 0, t = −2, donc rt − s² = −4 < 0 : point-selle.
On le vérifie directement : le long de l'axe des x, f = x² a un minimum en 0 ; le long de l'axe des y, f = −y² a un maximum. La surface a la forme d'une selle de cheval.
Exercices type
1. Domaine de f(x,y) = ln(x + y) + √(1 − x² − y²)
Deux conditions :
x + y > 0: le demi-plan strictement au-dessus de la droitey = −x;1 − x² − y² ⩾ 0: le disque fermé de rayon 1.
Le domaine est l'intersection : le demi-disque de rayon 1 situé au-dessus de la droite y = −x, bord courbe inclus mais bord droit exclu.
2. Dérivées partielles de f(x,y) = e^(xy)
∂f/∂x = y e^(xy) (forme u'e^u avec u = xy, dont la dérivée en x vaut y)
∂f/∂y = x e^(xy)
Vérification de Schwarz : ∂²f/∂x∂y = ∂(y e^(xy))/∂y = e^(xy) + xy e^(xy), et ∂²f/∂y∂x = ∂(x e^(xy))/∂x = e^(xy) + xy e^(xy) ✓
3. Gradient de f(x,y) = x² + y² au point (1,2) et interprétation
grad f = (2x, 2y), donc au point (1,2) : (2, 4).
Norme : √(4 + 16) = √20 ≈ 4,47. C'est la pente maximale en ce point.
Le vecteur (2,4) est colinéaire à (1,2), c'est-à-dire dirigé radialement vers l'extérieur : la fonction croît le plus vite en s'éloignant de l'origine. Et il est bien perpendiculaire au cercle de niveau passant par (1,2) ✓
4. Plan tangent à z = x² + y² en (1, 1)
f(1,1) = 2, ∂f/∂x(1,1) = 2, ∂f/∂y(1,1) = 2.
z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), soit z = 2x + 2y − 2.
5. Extremums de f(x,y) = x³ − 3x + y²
∂f/∂x = 3x² − 3 = 0 donne x = ±1 ; ∂f/∂y = 2y = 0 donne y = 0.
Deux points critiques : (1,0) et (−1,0).
Dérivées secondes : r = 6x, s = 0, t = 2, donc rt − s² = 12x.
- En
(1,0):12 > 0etr = 6 > 0→ minimum local, valeurf = −2. - En
(−1,0):−12 < 0→ point-selle.
6. Une résistance R = U/I est mesurée avec U = 12 ± 0,1 V et I = 3 ± 0,05 A. Incertitude sur R ?
∂R/∂U = 1/I = 1/3 et ∂R/∂I = −U/I² = −12/9 = −4/3
ΔR ≈ (1/3)(0,1) + (4/3)(0,05) = 0,033 + 0,067 = 0,1 Ω
Donc R = 4 ± 0,1 Ω, soit 2,5 % : la somme des incertitudes relatives sur U (0,83 %) et sur I (1,67 %). Comme pour un produit, les incertitudes relatives s'additionnent dans un quotient.
La méthode sur feuille
- Pour dériver partiellement, gèle mentalement l'autre variable en la remplaçant par un nombre.
- Après les dérivées secondes, vérifie Schwarz : les croisées doivent être égales. C'est gratuit et ça attrape les erreurs de calcul.
- Pour un extremum : d'abord le système
∂f/∂x = 0et∂f/∂y = 0, ensuite seulementrt − s². - N'oublie pas le point-selle : c'est une réponse valable, et souvent la bonne.
- Vérifie qu'un minimum trouvé est cohérent : évalue f en deux ou trois points voisins, la valeur doit être supérieure.
- Pour une incertitude, valeurs absolues partout, et vérifie que le résultat est plausible en ordre de grandeur.
En résumé
- Le graphe est une surface
z = f(x,y); les lignes de niveauf = ken donnent la carte topographique. - Dérivée partielle : on dérive par rapport à une variable, l'autre étant traitée comme une constante.
- Schwarz : les dérivées croisées sont égales. Un contrôle gratuit.
- Gradient
grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y): direction de plus grande croissance, norme = pente max, perpendiculaire aux lignes de niveau. - Plan tangent :
z = f(a,b) + f'ₓ(a,b)(x−a) + f'ᵧ(a,b)(y−b). - Différentielle
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy→ propagation des incertitudes (avec valeurs absolues). - Point critique : toutes les dérivées partielles nulles. Condition nécessaire, pas suffisante.
- Nature :
rt − s² > 0avecr > 0→ minimum ; avecr < 0→ maximum ;rt − s² < 0→ point-selle ;= 0→ indéterminé.
Et ensuite ? Le chapitre Opérateurs vectoriels généralise le gradient : divergence, rotationnel et laplacien, les trois opérateurs avec lesquels s'écrit toute la physique des champs.