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mathsOpérateurs vectoriels

Opérateurs vectoriels

Objectifs du Chapitre

Distinguer un champ scalaire d'un champ vectoriel, et savoir ce que chaque opérateur produit.

Calculer un gradient, une divergence, un rotationnel et un laplacien.

Interpréter physiquement la divergence (source ou puits) et le rotationnel (tourbillon).

Utiliser les identités rot(grad f) = 0 et div(rot V) = 0.

Reconnaître un champ conservatif et remonter à son potentiel.

Énoncer les théorèmes de flux-divergence et de Stokes, et savoir à quoi ils servent.

Où on va
Une température varie d'un point à l'autre d'une pièce : c'est un champ scalaire, un nombre par point. Un courant d'air, lui, a en chaque point une direction et une intensité : c'est un champ vectoriel. Trois opérateurs (gradient, divergence, rotationnel) suffisent à décrire comment ces champs varient, et c'est avec eux que s'écrivent la mécanique des fluides, la thermique et les équations de Maxwell. Ce chapitre couvre le bloc Opérateurs vectoriels de l'épreuve « Analyse en trois dimensions » du semestre 3 (30 minutes, sur feuille).

Champs scalaires et champs vectoriels

Définitions

Un champ scalaire associe un nombre à chaque point de l'espace : f(x,y,z). C'est le cas d'une température, d'une pression, d'un potentiel électrique, d'une altitude.

Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point : V(x,y,z) = (P, Q, R). C'est le cas de la vitesse d'un fluide, du champ électrique, du champ magnétique, de la force de pesanteur.

Les trois opérateurs se distinguent d'abord par ce qu'ils prennent en entrée et ce qu'ils rendent :

OpérateurEntréeSortie
gradientchamp scalairechamp vectoriel
divergencechamp vectorielchamp scalaire
rotationnelchamp vectorielchamp vectoriel
laplacienchamp scalairechamp scalaire
Le contrôle qui ne coûte rien
Avant tout calcul, demande-toi ce que ton résultat doit être. Si tu obtiens un nombre là où on attend un vecteur (ou l'inverse), tu as confondu deux opérateurs. Ce simple contrôle de nature élimine la moitié des erreurs de ce chapitre.

L'opérateur nabla

Pour écrire les trois opérateurs d'une seule façon, on introduit le symbole nabla :

∇ = ( ∂/∂x , ∂/∂y , ∂/∂z )

Ce n'est pas un vecteur au sens strict, mais un vecteur d'opérations : chaque composante attend une fonction à dériver. Il se manipule cependant comme un vecteur, ce qui donne les trois écritures compactes :

  • grad f = ∇f   (nabla appliqué à un scalaire)
  • div V = ∇ · V   (produit scalaire de nabla par un champ vectoriel → un nombre)
  • rot V = ∇ ∧ V   (produit vectoriel de nabla par un champ vectoriel → un vecteur)
Le moyen de tout retrouver
Le type du résultat se lit dans le symbole : un produit scalaire donne un nombre (divergence), un produit vectoriel donne un vecteur (rotationnel). Si tu ne te souviens plus d'une formule, écris ∇ · V ou ∇ ∧ V et applique la règle du produit correspondante, vue au chapitre de géométrie.

Gradient

Définition

grad f = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y , ∂f/∂z )

Rappel des trois propriétés vues au chapitre précédent : il pointe dans la direction de plus forte croissance, sa norme est la pente maximale, et il est perpendiculaire aux surfaces de niveau.

En physique, le gradient relie systématiquement un potentiel à un champ, avec un signe moins qui traduit « ça descend » :

  • champ électrique : E = − grad V
  • force dérivant d'une énergie potentielle : F = − grad E_p
  • flux de chaleur (loi de Fourier) : q = − k grad T. La chaleur va du chaud vers le froid.

Exemple. f(x,y,z) = x²y + z³

grad f = (2xy , x² , 3z²)

Divergence

Définition

Pour V = (P, Q, R) :

div V = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z

Le résultat est un nombre en chaque point.

L'interprétation physique
La divergence mesure ce qui sort d'un petit volume autour du point.
div V > 0 : le point est une source (le fluide en jaillit, les lignes de champ divergent).
div V < 0 : le point est un puits (le fluide y disparaît).
div V = 0 : autant entre que sort. Le champ est dit conservatif ou à flux conservatif. C'est le cas d'un fluide incompressible, et c'est aussi div B = 0 en magnétisme : il n'existe pas de monopôle magnétique, donc pas de source d'où le champ jaillirait.

Exemple travaillé. V = (x, y, z) : le champ radial qui s'éloigne de l'origine.

div V = 1 + 1 + 1 = 3 > 0 : source partout, ce qui correspond bien à un champ qui s'écarte dans toutes les directions.

Exemple. V = (−y, x, 0) : le champ de rotation autour de l'axe Oz.

div V = ∂(−y)/∂x + ∂(x)/∂y + 0 = 0 : rien ne sort, rien n'entre. Une rotation ne crée ni ne détruit de matière.

Rotationnel

Définition

Pour V = (P, Q, R) :

rot V = ( ∂R/∂y − ∂Q/∂z , ∂P/∂z − ∂R/∂x , ∂Q/∂x − ∂P/∂y )

C'est le produit vectoriel ∇ ∧ V, avec la même mécanique d'indices que celle vue en géométrie : pour la première composante on oublie la ligne 1 et on croise les lignes 2 et 3, et ainsi de suite en tournant (23, 31, 12).

L'interprétation physique
Le rotationnel mesure la tendance à tourner du champ autour d'un point. L'image : place une minuscule roue à aubes dans l'écoulement ; si elle se met à tourner, le rotationnel n'est pas nul, et il est dirigé selon l'axe de rotation (règle de la main droite). rot V = 0 partout définit un champ irrotationnel.

Exemple travaillé. V = (−y, x, 0).

  • première composante : ∂R/∂y − ∂Q/∂z = 0 − 0 = 0
  • deuxième : ∂P/∂z − ∂R/∂x = 0 − 0 = 0
  • troisième : ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − (−1) = 2

rot V = (0, 0, 2) : un rotationnel dirigé selon Oz, exactement l'axe autour duquel ce champ tourne. La roue à aubes tournerait dans le plan xy.

Exemple. V = (x, y, z). Toutes les dérivées croisées sont nulles, donc rot V = (0,0,0) : ce champ s'écarte mais ne tourne pas. Il diverge sans être rotationnel, alors que le précédent tournait sans diverger. Les deux opérateurs mesurent bien des choses indépendantes.

Laplacien

Définition

Δf = div(grad f) = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

Il combine les deux premiers opérateurs. Il mesure l'écart entre la valeur de f en un point et la moyenne de ses voisins : positif si le point est un creux local, négatif si c'est une bosse.

C'est l'opérateur des grandes équations de la physique :

  • Δf = 0 : équation de Laplace : régime stationnaire, potentiel dans le vide ;
  • ∂f/∂t = k Δf : équation de la chaleur : la diffusion lisse les écarts ;
  • ∂²f/∂t² = c² Δf : équation des ondes.

Exemple. f = x² + y² + z² → Δf = 2 + 2 + 2 = 6.

Les deux identités à connaître

Identités fondamentales

rot(grad f) = 0   : un champ de gradient ne tourne jamais.

div(rot V) = 0   : un champ de rotationnel n'a ni source ni puits.

Toutes deux se démontrent par calcul direct, en utilisant le théorème de Schwarz : les termes s'annulent deux à deux parce que les dérivées croisées sont égales.

À quoi elles servent en épreuve
Elles fournissent des tests immédiats. Si on te demande si un champ dérive d'un potentiel, calcule son rotationnel : s'il n'est pas nul, la réponse est non, sans autre calcul. Et si tu obtiens un div(rot V) non nul, tu as fait une erreur. Le résultat est nécessairement zéro.

Champs conservatifs et potentiel

Théorème

Sur un domaine « sans trou » (simplement connexe), rot V = 0 si et seulement si il existe un champ scalaire f tel que V = grad f. On dit alors que V dérive du potentiel f, et que le champ est conservatif.

Conséquence physique majeure : le travail d'une telle force ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des points de départ et d'arrivée. Sur un circuit fermé, il est nul. C'est ce qui donne un sens à l'énergie potentielle.

Méthode pour retrouver le potentiel : c'est un exercice type :

  1. Vérifier que rot V = 0.
  2. Intégrer ∂f/∂x = P par rapport à x. La « constante » d'intégration est une fonction de y et z.
  3. Dériver le résultat par rapport à y, l'identifier à Q, et en tirer cette fonction.
  4. Recommencer avec z si nécessaire.

Exemple travaillé. V = (2xy, x² + 2y, 0).

Rotationnel : la troisième composante vaut ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 2x − 2x = 0, les deux autres sont nulles. Le champ est donc conservatif.

  • ∂f/∂x = 2xy → f = x²y + g(y)
  • ∂f/∂y = x² + g'(y), qu'on identifie à x² + 2y → g'(y) = 2y → g(y) = y² + C

f(x,y) = x²y + y² + C

Contrôle : grad f = (2xy, x² + 2y) ✓

Circulation, flux et les deux grands théorèmes

Ces deux théorèmes relient ce qui se passe à l'intérieur d'un domaine à ce qui se passe sur son bord. Ils généralisent le théorème fondamental de l'analyse, qui disait déjà que l'intégrale d'une dérivée sur un segment ne dépend que des deux extrémités.

Définitions

La circulation de V le long d'une courbe C est ∫_C V · dl (le travail d'une force). Le flux de V à travers une surface S est ∬_S V · n dS (le débit à travers une surface).

Flux-divergence (Green-Ostrogradski)

le flux sortant d'une surface fermée égale l'intégrale de la divergence sur le volume intérieur.

∬_S V · n dS = ∭_ᵥ div V dV

Théorème de Stokes

la circulation le long d'une courbe fermée égale le flux du rotationnel à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur cette courbe.

∮_C V · dl = ∬_S rot V · n dS

L'idée commune, et son intérêt pratique
Dans les deux cas : ce qui traverse le bord se lit dans ce qui se passe à l'intérieur. C'est ce qui permet, en électromagnétisme, de passer des équations de Maxwell sous forme locale (avec div et rot) à leur forme intégrale (théorème de Gauss, loi d'Ampère), et de calculer un champ par un argument de symétrie plutôt que par une intégrale.

Conséquence directe des identités : si rot V = 0, alors la circulation sur tout circuit fermé est nulle (Stokes). On retrouve la propriété des champs conservatifs. Et si div V = 0, le flux à travers toute surface fermée est nul.

Exercices type

1. Divergence et rotationnel de V = (x², y², z²)

div V = 2x + 2y + 2z

Rotationnel : chaque composante fait intervenir des dérivées croisées, toutes nulles ici (P ne dépend que de x, Q que de y, R que de z).

rot V = (0, 0, 0) : le champ est irrotationnel.

2. Laplacien de f(x,y) = ln(x² + y²)

∂f/∂x = 2x/(x² + y²)

∂²f/∂x² = (2(x²+y²) − 2x·2x)/(x²+y²)² = (2y² − 2x²)/(x²+y²)²

Par symétrie, ∂²f/∂y² = (2x² − 2y²)/(x²+y²)².

Δf = 0 (hors de l'origine).

Ce champ est harmonique : c'est le potentiel logarithmique, celui d'un fil chargé rectiligne.

3. Le champ V = (y, x, 0) dérive-t-il d'un potentiel ?

Troisième composante du rotationnel : ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − 1 = 0. Les deux autres sont nulles.

Oui. Recherche du potentiel : ∂f/∂x = y → f = xy + g(y) ; puis ∂f/∂y = x + g'(y) = x → g' = 0.

f = xy + C

4. Le champ V = (−y, x, 0) dérive-t-il d'un potentiel ?

On a calculé plus haut rot V = (0, 0, 2) ≠ 0.

Non. Ce champ tourne, donc sa circulation sur un cercle centré à l'origine n'est pas nulle : le « travail » dépend du chemin. Aucun potentiel ne peut exister.

C'est le contre-exemple à retenir, et il ne diffère du précédent que par un signe.

5. Vérifier que div(rot V) = 0 pour V = (yz, xz, xy)

rot V = (∂(xy)/∂y − ∂(xz)/∂z , ∂(yz)/∂z − ∂(xy)/∂x , ∂(xz)/∂x − ∂(yz)/∂y)

= (x − x , y − y , z − z) = (0,0,0)

Sa divergence est donc nulle, conformément à l'identité. Au passage, ce champ est irrotationnel : il dérive du potentiel f = xyz.

6. Flux de V = (x, y, z) à travers la sphère de rayon R

Par le théorème de flux-divergence, div V = 3, donc :

Φ = ∭ 3 dV = 3 × (4/3)πR³ = 4πR³

Vérification directe : sur la sphère, V est radial de norme R et la normale lui est colinéaire, donc V · n = R partout. Le flux vaut R × 4πR² = 4πR³ ✓

C'est exactement l'argument par lequel on établit le théorème de Gauss en électrostatique.

La méthode sur feuille

  1. Identifie la nature des objets : le résultat doit-il être un nombre ou un vecteur ? C'est le premier contrôle.
  2. Écris ∇ · V ou ∇ ∧ V si tu hésites sur une formule : le produit scalaire et le produit vectoriel te la redonnent.
  3. Pour un rotationnel, respecte l'ordre des indices (23, 31, 12) et vérifie tes signes : c'est là que se perdent les points.
  4. Pour savoir si un champ est conservatif, calcule d'abord rot V. Nul → cherche le potentiel par intégrations successives.
  5. Après avoir trouvé un potentiel, contrôle en calculant son gradient.
  6. Face à un flux à travers une surface fermée, pense flux-divergence : l'intégrale de volume est souvent bien plus simple.
  7. Un div(rot V) ou un rot(grad f) non nul est nécessairement une erreur de calcul.

En résumé

  • Champ scalaire = un nombre par point ; champ vectoriel = un vecteur par point.
  • grad : scalaire → vecteur. div : vecteur → scalaire. rot : vecteur → vecteur. Δ : scalaire → scalaire.
  • Nabla ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) : ∇f, ∇·V, ∇∧V. Le type du produit donne le type du résultat.
  • Divergence = ce qui sort. > 0 source, < 0 puits, = 0 flux conservatif.
  • Rotationnel = tendance à tourner. = 0 → irrotationnel.
  • Laplacien Δf = div(grad f) : opérateur de Laplace, de la chaleur et des ondes.
  • rot(grad f) = 0 et div(rot V) = 0 : toujours. Ce sont des tests, et des détecteurs d'erreur.
  • rot V = 0 ⟺ V dérive d'un potentiel ⟺ le travail ne dépend pas du chemin.
  • Flux-divergence : flux sortant = intégrale de la divergence sur le volume. Stokes : circulation sur un contour = flux du rotationnel à travers une surface qui s'y appuie.

Et ensuite ? Tu as couvert l'ensemble des notions évaluées sur les trois semestres. Pour réviser, reprends les sections « La méthode sur feuille » de chaque chapitre : ce sont elles qui font la différence en temps limité.