Probabilités

Vocabulaire

Le dictionnaire à connaître, parce que les énoncés l'utilisent sans le traduire :

Deux formules en découlent, et elles servent constamment :

P(Ā) = 1 − P(A)     P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance :

P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles)

Tout se ramène alors à compter. D'où le chapitre suivant.

Dénombrement

Trois situations, trois formules. Le seul vrai travail est de savoir dans laquelle on est.

Les combinaisons, notées aussi « k parmi n », ont deux propriétés qui font gagner du temps :

• C(n,k) = C(n, n−k) : choisir 3 personnes parmi 10, c'est en écarter 7 ;
• C(n,0) = C(n,n) = 1 et C(n,1) = n.

Exemple travaillé. Dans une urne de 10 boules dont 4 rouges, on en tire 3 simultanément. Probabilité d'avoir exactement 2 rouges ?

• Cas possibles : C(10,3) = 120.
• Cas favorables : choisir 2 rouges parmi 4 et 1 non-rouge parmi 6, soit C(4,2) × C(6,1) = 6 × 6 = 36.
• P = 36/120 = 0,3

Note le « et » traduit par une multiplication : c'est le principe multiplicatif, qui vaut chaque fois qu'on fait des choix successifs indépendants.

Probabilités conditionnelles

Conditionner, c'est changer d'univers : on ne raisonne plus sur Ω tout entier, mais à l'intérieur de B. La formule ne fait qu'exprimer cela. On regarde la part de B qui est aussi dans A.

En la retournant, on obtient la formule la plus utilisée du chapitre :

P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A)

C'est elle qui permet de lire un arbre de probabilités : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

Indépendance

L'indépendance se démontre (en vérifiant l'égalité) ou se suppose si l'énoncé le dit (tirages avec remise, composants d'un lot). On ne la devine pas.

Probabilités totales

Sur un arbre, cela revient à dire : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités de tous les chemins qui y mènent.

Le cas le plus fréquent utilise la partition la plus simple, {B, B̄} :

P(A) = P(B)P_B(A) + P(B̄)P_{B̄}(A)

Formule de Bayes

Elle sert à renverser un conditionnement : on connaît P_B(A) et on veut P_A(B).

P_A(B) = P(B) × P_B(A) / P(A)

où P(A) se calcule par les probabilités totales.

Exemple travaillé : le piège du test de dépistage. Une maladie touche 1 % de la population. Un test détecte 99 % des malades (sensibilité) et se trompe sur 2 % des personnes saines (faux positifs). Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit réellement malade ?

Notons M « être malade » et T « test positif ».

• P(M) = 0,01, P_M(T) = 0,99, P_M̄(T) = 0,02
• Probabilités totales : P(T) = 0,01 × 0,99 + 0,99 × 0,02 = 0,0099 + 0,0198 = 0,0297
• Bayes : P_T(M) = 0,0099 / 0,0297 ≈ 0,33

Variables aléatoires

Espérance

C'est la moyenne des valeurs, pondérée par leurs probabilités : la valeur moyenne obtenue si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois.

Attention, l'espérance n'est pas nécessairement une valeur possible. Un dé équilibré a pour espérance 3,5, que le dé n'affichera jamais.

Un jeu est dit équitable si l'espérance de gain est nulle. C'est le calcul type de l'épreuve : on établit la loi du gain, on calcule l'espérance, on conclut.

Variance et écart-type

L'espérance dit où se situe le centre ; la variance dit à quel point les valeurs s'en écartent. Deux lois de même espérance peuvent être très différentes : l'une concentrée, l'autre très dispersée.

L'écart-type se lit dans la même unité que X : c'est pourquoi on le préfère à la variance pour commenter un résultat.

Les lois usuelles

Loi de Bernoulli

Une seule épreuve à deux issues : succès (probabilité p) ou échec.

E(X) = p    V(X) = p(1 − p)

Loi binomiale B(n, p)

La formule se lit : C(n,k) compte les positions possibles des k succès, p^k est la probabilité de ces k succès, (1−p)^(n−k) celle des échecs restants.

Exemple travaillé. 5 % des pièces d'une production sont défectueuses. Sur un lot de 20 pièces, probabilité d'en avoir au moins une défectueuse ?

X ~ B(20 ; 0,05). On passe par le contraire :

P(X ⩾ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,95²⁰ ≈ 1 − 0,358 = 0,642

Presque deux lots sur trois contiennent au moins une pièce défectueuse : un résultat qui surprend souvent, et qui explique pourquoi le contrôle qualité raisonne par lots.

Loi de Poisson P(λ)

Elle compte le nombre d'événements rares survenant pendant une durée fixée : appels reçus par un standard, pannes d'une machine, particules détectées.

P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!   pour k = 0, 1, 2, …

E(X) = λ    V(X) = λ

La particularité à retenir : espérance et variance sont égales. Le paramètre λ est le nombre moyen d'occurrences sur la période considérée. La loi de Poisson approche la binomiale quand n est grand et p petit, avec λ = np.

Loi normale N(μ, σ²)

C'est la seule loi continue du programme, et de loin la plus fréquente en pratique : elle décrit toute grandeur résultant de l'accumulation de nombreux petits aléas indépendants (une erreur de mesure, une cote d'usinage, un bruit électrique).

Sa densité est la fameuse courbe en cloche, symétrique autour de μ. Ici, P(X = a) = 0 pour toute valeur : seules les probabilités d'intervalles ont un sens.

Pour utiliser une table, on centre et on réduit : on pose Z = (X − μ)/σ, qui suit alors la loi normale centrée réduite N(0, 1). On lit ensuite P(Z ⩽ z) dans la table. La symétrie donne P(Z ⩽ −z) = 1 − P(Z ⩽ z), ce qui évite d'avoir besoin des valeurs négatives.

Exercices type

La méthode sur feuille

1. Nomme les événements en une ligne (« M : la pièce est défectueuse ») avant tout calcul. Les copies confuses sont celles où on ne sait plus ce que désigne A.
2. Fais un arbre dès qu'il y a un conditionnement. On y lit les probabilités totales et Bayes sans effort.
3. Devant « au moins un », passe au contraire.
4. Devant un dénombrement, pose-toi la question : l'ordre compte-t-il ?
5. Avant d'écrire une binomiale, vérifie les trois conditions : n fixé, indépendance, p constant.
6. Contrôle : une probabilité est entre 0 et 1, la somme des probabilités d'une loi vaut 1, une variance est positive.
7. Sur une loi normale, vérifie ton résultat avec les repères 68 / 95 / 99,7.

En résumé

• P(Ā) = 1 − P(A) et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Équiprobabilité → compter. Ordre → arrangement A(n,k) ; sans ordre → combinaison C(n,k) ; avec remise → n^k.
• Conditionnelle : P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B). Sur un arbre, un chemin se multiplie.
• Indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A)P(B). À ne pas confondre avec incompatibles.
• Probabilités totales : on somme tous les chemins menant à A. Bayes renverse le conditionnement, et le résultat contredit souvent l'intuition.
• Espérance E(X) = Σ xᵢ pᵢ (moyenne pondérée) ; variance V(X) = E(X²) − E(X)² (dispersion) ; σ = √V.
• E(aX + b) = aE(X) + b mais V(aX + b) = a² V(X).
• Binomiale B(n,p) : P(X=k) = C(n,k)p^k(1−p)^(n−k), E = np, V = np(1−p). Trois conditions à vérifier.
• Poisson P(λ) : événements rares, E = V = λ.
• Normale : courbe en cloche, repères 68 / 95 / 99,7 %, centrer-réduire avec Z = (X − μ)/σ.

Et ensuite ? Le chapitre Statistiques prend le problème dans l'autre sens : ici on connaissait la loi et on en déduisait des probabilités ; là, on part des données et on remonte à la loi.