Matrices et systèmes linéaires
Objectifs du Chapitre
Additionner et multiplier des matrices, et savoir quand le produit est défini.
Calculer un déterminant d'ordre 2 et d'ordre 3, et interpréter sa nullité.
Déterminer si une matrice est inversible et calculer son inverse.
Écrire un système linéaire sous la forme matricielle AX = B.
Résoudre un système par la méthode du pivot de Gauss.
Discuter le nombre de solutions d'un système : une, aucune, ou une infinité.
Ce qu'est une matrice
Une matrice de taille n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Le coefficient situé à la ligne i et la colonne j se note aᵢⱼ.
L'ordre est toujours lignes × colonnes, et on ne s'en écarte jamais.
( 1 2 3 )
A = ( 4 5 6 ) A est de taille 2 × 3
Quelques matrices portent un nom : carrée (n = p), nulle (tous les coefficients nuls), identité Iₙ (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs), diagonale, triangulaire (tous les coefficients nuls d'un côté de la diagonale).
Opérations
Addition et multiplication par un nombre
Coefficient par coefficient, et seulement entre matrices de même taille.
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ et (kA)ᵢⱼ = k aᵢⱼ
Le produit matriciel
C'est l'opération qui n'a rien d'intuitif, et celle qu'il faut maîtriser.
Le produit AB n'est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Si A est n × p et B est p × q, alors AB est n × q, et
(AB)ᵢⱼ = ligne i de A « fois » colonne j de B = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + … + aᵢₚbₚⱼ
Exemple travaillé.
( 1 2 ) ( 5 6 ) ( 1×5+2×7 1×6+2×8 ) ( 19 22 )
( 3 4 ) ( 7 8 ) = ( 3×5+4×7 3×6+4×8 ) = ( 43 50 )
AB ≠ BA en général, et souvent l'un des deux n'est même pas défini. L'ordre des facteurs est une information, pas un détail.Un produit peut être nul sans qu'aucun facteur le soit. On ne peut donc pas « simplifier par A » comme avec des nombres.
Les identités remarquables ne s'appliquent pas :
(A+B)² = A² + AB + BA + B², et le terme du milieu ne se regroupe pas en 2AB.
le produit est associatif ((AB)C = A(BC)) et distributif sur l'addition. La matrice identité est neutre : AI = IA = A.
Transposée
La transposée ᵗA s'obtient en échangeant les lignes et les colonnes : (ᵗA)ᵢⱼ = aⱼᵢ.
Attention à l'inversion de l'ordre dans un produit : ᵗ(AB) = ᵗB ᵗA. Une matrice est dite symétrique si ᵗA = A. C'est le cas de la matrice d'adjacence d'un graphe non orienté.
Déterminant
Le déterminant est un nombre attaché à une matrice carrée. Il répond à une seule question, mais essentielle : la matrice est-elle inversible ?
Ordre 2
( a b )
det ( c d ) = ad − bc
Ordre 3 : la règle de Sarrus
On recopie les deux premières colonnes à droite du tableau, puis on additionne les trois diagonales descendantes et on soustrait les trois montantes :
| a b c | a b
| d e f | d e
| g h i | g h
det = aei + bfg + cdh − gec − hfa − idb
Développement suivant une ligne ou une colonne
det A = Σ (−1)^(i+j) aᵢⱼ × Dᵢⱼ, où Dᵢⱼ est le déterminant obtenu en supprimant la ligne i et la colonne j.
Les signes (−1)^(i+j) s'organisent en damier, en commençant par un + en haut à gauche :
+ − +
− + −
+ − +
Ce que le déterminant dit
Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det A ≠ 0.
Deux propriétés utiles : det(AB) = det A × det B, et det(ᵗA) = det A. En revanche, det(A + B) ≠ det A + det B.
Inverse d'une matrice
A⁻¹ est l'unique matrice telle que A A⁻¹ = A⁻¹ A = I.
Pour une matrice 2 × 2, la formule est à connaître par cœur :
( a b ) 1 ( d −b )
A = ( c d ) → A⁻¹ = ───── × ( −c a )
ad−bc
La recette parlée : on échange a et d, on change le signe de b et c, on divise par le déterminant.
Exemple travaillé. Pour A = (1 2 ; 3 4), det A = 4 − 6 = −2, donc :
A⁻¹ = −(1/2) × ( 4 −2 ) = ( −2 1 )
( −3 1 ) ( 3/2 −1/2)
Contrôle : A A⁻¹ = I ✓, et c'est une vérification qu'il faut toujours faire, elle coûte quatre multiplications.
Au-delà de l'ordre 2, on inverse par le pivot de Gauss : on écrit (A | I) côte à côte et on applique les mêmes opérations aux deux moitiés jusqu'à obtenir (I | A⁻¹).
Systèmes linéaires
L'écriture matricielle
Un système comme
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
s'écrit AX = B avec :
( 2 1 −1 ) ( x ) ( 8 )
A = ( −3 −1 2 ) X = ( y ) B = ( −11 )
( −2 1 2 ) ( z ) ( −3 )
Toute l'information est dans A et B ; les lettres x, y, z ne servent plus à rien pendant la résolution. C'est précisément l'intérêt de l'écriture matricielle.
Si A est inversible, la solution est unique et vaut X = A⁻¹ B. Mais en pratique on ne calcule presque jamais l'inverse : le pivot de Gauss est plus rapide et plus sûr.
Le pivot de Gauss
trois opérations laissent l'ensemble des solutions inchangé :
- échanger deux lignes ;
- multiplier une ligne par un nombre non nul ;
- ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.
On les enchaîne pour faire apparaître des zéros sous la diagonale, jusqu'à obtenir un système triangulaire qu'on résout de bas en haut.
On travaille sur la matrice augmentée (A | B), c'est-à-dire le tableau des coefficients avec la colonne du second membre ajoutée à droite.
Exemple travaillé sur le système ci-dessus. Matrice augmentée :
( 2 1 −1 | 8 )
( −3 −1 2 | −11 )
( −2 1 2 | −3 )
Étape 1 : faire des zéros dans la première colonne, avec le pivot 2 :
L₂ ← L₂ + (3/2)L₁ et L₃ ← L₃ + L₁
( 2 1 −1 | 8 )
( 0 1/2 1/2 | 1 )
( 0 2 1 | 5 )
Étape 2 : zéro dans la deuxième colonne, avec le pivot 1/2 :
L₃ ← L₃ − 4 L₂
( 2 1 −1 | 8 )
( 0 1/2 1/2 | 1 )
( 0 0 −1 | 1 )
Étape 3 : remontée. La dernière ligne donne −z = 1, donc z = −1. La deuxième donne (1/2)y + (1/2)(−1) = 1, donc y = 3. La première donne 2x + 3 + 1 = 8, donc x = 2.
Solution : (x, y, z) = (2, 3, −1).
Contrôle dans la troisième équation d'origine : −4 + 3 − 2 = −3 ✓
Écris l'opération à côté de chaque ligne (
L₃ ← L₃ − 4L₂). C'est ce que le correcteur suit, et c'est ce qui te permet de retrouver ton erreur quand le contrôle final échoue.
Discuter le nombre de solutions
À la fin du pivot, on lit le résultat sur la dernière ligne non nulle :
| Ce qu'on obtient | Conclusion |
|---|---|
| autant de pivots que d'inconnues | une solution unique |
une ligne 0 0 0 | k avec k ≠ 0 | aucune solution (le système est incompatible) |
| une ligne entièrement nulle | une infinité de solutions |
Le lien avec le déterminant, pour un système carré : det A ≠ 0 ⟺ solution unique. Si det A = 0, c'est zéro ou une infinité, et seul le pivot permet de trancher.
Quand il y a une infinité de solutions, on exprime les inconnues « principales » (celles qui portent un pivot) en fonction des autres, appelées paramètres. Le nombre de paramètres est nombre d'inconnues − rang.
Le rang de A est le nombre de pivots non nuls obtenus à la fin de la méthode de Gauss. C'est le nombre d'équations réellement indépendantes du système.
Exercices type
1. Calculer AB et BA pour A = (1 2 ; 0 1) et B = (1 0 ; 3 1)
AB = (1×1+2×3 , 1×0+2×1 ; 0×1+1×3 , 0×0+1×1) = (7 2 ; 3 1)
BA = (1×1+0×0 , 1×2+0×1 ; 3×1+1×0 , 3×2+1×1) = (1 2 ; 3 7)
Les deux produits sont définis, tous deux 2 × 2, et pourtant différents. C'est l'illustration standard de la non-commutativité.
2. Inverse de A = (3 1 ; 5 2)
det A = 6 − 5 = 1, non nul, donc A est inversible.
A⁻¹ = (1/1) × (2 −1 ; −5 3) = (2 −1 ; −5 3)
Contrôle : (3 1 ; 5 2)(2 −1 ; −5 3) = (6−5 , −3+3 ; 10−10 , −5+6) = (1 0 ; 0 1) ✓
3. Pour quelle valeur de m la matrice (m 2 ; 3 m) est-elle non inversible ?
det = m² − 6. Il s'annule pour m = √6 ou m = −√6.
Pour ces deux valeurs, la matrice n'est pas inversible ; pour toute autre valeur de m, elle l'est.
4. Résoudre par Gauss : x + y = 3 et 2x + 2y = 6
L₂ ← L₂ − 2L₁ donne la ligne 0 0 | 0 : entièrement nulle.
Le système a donc une infinité de solutions : les deux équations disent la même chose. On exprime x = 3 − y, et l'ensemble des solutions est {(3 − t, t), t ∈ ℝ}.
Le rang vaut 1 pour 2 inconnues : il y a bien 2 − 1 = 1 paramètre.
5. Résoudre : x + y = 3 et 2x + 2y = 7
L₂ ← L₂ − 2L₁ donne 0 0 | 1, c'est-à-dire l'équation 0 = 1.
Aucune solution : le système est incompatible. Géométriquement, les deux droites sont parallèles et distinctes.
6. Déterminant de (1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9)
Par Sarrus : 1×5×9 + 2×6×7 + 3×4×8 − 7×5×3 − 8×6×1 − 9×4×2
= 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0
La matrice n'est donc pas inversible. On le voit d'ailleurs sans calcul : L₃ − L₂ = L₂ − L₁ = (3, 3, 3), donc L₁ + L₃ = 2L₂. Les lignes sont liées, le rang vaut 2.
La méthode sur feuille
- Vérifie les tailles avant tout produit : colonnes de A = lignes de B, sinon le produit n'existe pas.
- Pour savoir si un système a une solution unique, calcule d'abord le déterminant. Nul → il faudra discuter.
- Pour résoudre, utilise le pivot de Gauss sur la matrice augmentée, pas l'inverse : c'est plus rapide et moins sujet aux erreurs.
- Choisis les pivots pour éviter les fractions, et note chaque opération en marge.
- Contrôle toujours : réinjecte la solution dans une équation de départ (de préférence celle que tu as le moins utilisée), et vérifie
A A⁻¹ = Iaprès une inversion. - Pour une infinité de solutions, paramètre proprement et compte :
nombre de paramètres = inconnues − rang.
En résumé
- Une matrice
n × p: lignes × colonnes, toujours dans cet ordre. - Le produit exige colonnes de A = lignes de B, et se calcule « ligne fois colonne ». Il n'est pas commutatif, et on ne peut pas simplifier par un facteur.
- Déterminant :
ad − bcà l'ordre 2, Sarrus à l'ordre 3 (et seulement jusqu'à 3), cofacteurs au-delà. det A ≠ 0⟺ A inversible ⟺ le systèmeAX = Ba une solution unique.- Inverse
2 × 2: échanger la diagonale, changer le signe de l'antidiagonale, diviser par le déterminant. - Pivot de Gauss : trois opérations autorisées, triangulariser, puis remonter.
- Discussion : autant de pivots que d'inconnues → unique ; ligne
0 = knon nul → aucune ; ligne nulle → infinité. - Rang = nombre de pivots = nombre d'équations indépendantes. Paramètres = inconnues − rang.
Et ensuite ? L'épreuve de Probabilités et statistiques du même semestre change complètement de terrain : on n'y cherche plus une valeur exacte, mais ce qu'on peut affirmer malgré le hasard.