Calculer une intégrale sur un disque, puis mesurer ce que coûte l'oubli du jacobien.

Le passage en polaires pose $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$. Un petit rectangle de côtés $dr$ et $d\theta$ couvre une aire proportionnelle à sa distance au centre, parce que l'arc s'allonge avec le rayon.

Sur un disque centré à l'origine, les bornes deviennent constantes, ce qui est tout l'intérêt du changement.

L'oubli du jacobien ne produit aucun message d'erreur et donne un nombre parfaitement plausible. C'est pourquoi la troisième question sert de contrôle : une intégrale de la fonction constante égale à un doit rendre l'aire, dont la valeur est connue par ailleurs.