Théorie des jeux et décision stratégique

Décider seul, décider contre quelqu'un

Un serveur tombe en panne avec une probabilité de 3 %. Doubler la machine coûte 4 000 €, la panne en coûterait 200 000 €. Tu compares 0,03 × 200 000 = 6 000 € de perte espérée à 4 000 € de dépense certaine, tu doubles la machine, et c'est réglé. La météo, la panne, le hasard : ils ne réagissent pas à ta décision.

Change une seule chose. Le prix du serveur de secours n'est plus affiché : il est négocié avec un fournisseur qui sait que tu as besoin de lui, et qui sait que tu sais qu'il le sait. Ton calcul d'espérance ne tient plus, parce que le prix qui y figure est lui-même le résultat d'une décision prise par quelqu'un qui observe la tienne.

Le mot « jeu » est trompeur : il n'y a rien de ludique. Une négociation commerciale, un appel d'offres, deux opérateurs qui fixent leurs tarifs, deux équipes qui se partagent une fenêtre de maintenance, tout cela est un jeu au sens technique.

Le jeu sous forme normale

Quand chaque joueur a peu de stratégies et qu'ils décident simultanément, on écrit le jeu sous forme d'un tableau : les lignes sont les stratégies du premier joueur, les colonnes celles du second, et chaque case contient le couple de gains (gain ligne, gain colonne).

L'exemple canonique est le dilemme du prisonnier, sous sa version industrielle : deux fournisseurs d'énergie choisissent d'annoncer une capacité élevée, moyenne ou faible. Le tableau des gains est celui de l'atelier du bloc :

Premier chiffre : le gain de A. Second : celui de B. On y revient dans un instant, une fois l'outillage en place.

Le fil rouge : le groupe électrogène

Voici une situation type. À une semaine de la cérémonie d'ouverture des Jeux olympiques, une couverture nuageuse dense menace de réduire de moitié la production solaire. Marc, responsable du réseau, veut sécuriser l'alimentation. Une panne coûterait 150 k€.

Marc propose de louer un groupe électrogène à 50 k€ au lieu des 70 k€ habituels, avec une clause : le groupe ne sera mis en marche que si la production solaire est insuffisante. Nicole, responsable commerciale de Diesel Pro, peut accepter ces 50 k€ ou insister sur 70 k€, mais dans ce cas Marc annonce qu'il fera tourner le groupe de toute façon, nuages ou pas.

Faire tourner le groupe coûte 55 k€ à Diesel Pro. Les deux écrivent leur prix simultanément : Marc écrit $x$, Nicole écrit $y$. Si $x \geq y$, la location se fait au prix $\min(x, y)$ ; si $x < y$, il n'y a pas de location.

On note $p$ la probabilité que le ciel soit couvert, donc que la production solaire soit insuffisante.

Construire les gains

C'est l'étape qui décide de tout le reste, et c'est celle qu'on bâcle. Prenons Marc, quand la location se fait au prix $c$ :

• avec la probabilité $p$, le ciel est couvert : le groupe évite une panne à 150 k€, mais Marc paie $c$. Son gain vaut $150 - c$ ;
• avec la probabilité $1 - p$, le ciel est dégagé : le groupe ne servait à rien, Marc a payé $c$ pour rien. Son gain vaut $-c$.

Son espérance de gain est donc :

$E = p(150 - c) + (1 - p)(-c) = 150p - c$

Et s'il n'y a pas de location, Marc subit la panne avec la probabilité $p$ : son espérance vaut $-150p$.

Pour Nicole, il faut lire la clause avec attention :

• location à 50 k€ : le groupe ne tourne que si le ciel est couvert. Avec la probabilité $p$, elle encaisse 50 et dépense 55, soit $-5$ ; avec la probabilité $1 - p$, elle encaisse 50 sans rien dépenser. Espérance : $p(-5) + (1 - p)(50) = 50 - 55p$ ;
• location à 70 k€ : plus de clause, le groupe tourne dans tous les cas. Elle encaisse 70 et dépense 55, soit 15 de façon certaine ;
• pas de location : 0.

La matrice

La case en haut à droite est la seule où $x < y$ : pas de location. Les deux cases de la colonne de gauche sont identiques, parce que le prix retenu est $\min(x, y) = 50$ dans les deux cas.

Stratégies dominantes

Avant de chercher un équilibre, on cherche toujours s'il y a plus simple.

Reprends le tableau des deux fournisseurs. Pour A, compare la ligne Faible $(4, 5, 3)$ à la ligne Moyenne $(3, 4, 2)$ : $4 > 3$, $5 > 4$, $3 > 2$. Faible domine strictement Moyenne. Compare-la à Élevée $(2, 1, 0)$ : elle domine aussi. Faible est la stratégie dominante de A, et le jeu étant symétrique, de B également.

Éliminer, puis recommencer

Supprimer une stratégie dominée change le tableau, et une stratégie qui ne l'était pas peut le devenir. On recommence donc jusqu'à ce que plus rien ne tombe. C'est l'élimination itérée, et elle se fait à la main, sans outil.

Déroulons, colonne après colonne, ligne après ligne.

Premier tour. Pour B, comparez Droite (0, 2, 4) à Milieu (1, 3, 2) : ni l'une ni l'autre ne domine. Comparez Gauche (2, 1, 0) à Milieu (1, 3, 2) : là non plus. Rien ne tombe côté colonnes. Pour A, comparez Haut (3, 2, 0) à Milieu (1, 4, 2) : 3 > 1 mais 2 < 4, donc pas de domination. Aucune ligne ne tombe non plus.

Le tableau résiste. C'est le cas fréquent, et c'est précisément pourquoi la méthode des meilleures réponses existe : l'élimination itérée ne suffit pas toujours à conclure. Quand elle laisse une seule case, le jeu est dit résoluble par dominance, et cette case est l'unique équilibre. Quand elle s'arrête avant, il faut souligner.

L'équilibre de Nash

Quand il n'y a pas de stratégie dominante, on cherche les situations stables.

La méthode tient en trois gestes, et elle est mécanique.

1. Colonne par colonne, souligne le meilleur gain du joueur des lignes.
2. Ligne par ligne, souligne le meilleur gain du joueur des colonnes.
3. Les cases où les deux gains sont soulignés sont les équilibres de Nash.

Applique-la à la seconde matrice de l'atelier, qui n'a pas de stratégie dominante :

Souligne d'abord au brouillon, puis demande la correction à la figure : c'est ce geste-là qu'il faut savoir refaire, pas la lecture du résultat. Colonne Élevée, le meilleur gain de A est 4, sur la ligne Faible. Colonne Moyenne, c'est 4, sur la ligne Moyenne. Colonne Faible, c'est 3, sur la ligne Faible. Puis on recommence ligne par ligne pour B, et l'on ne garde que les cases doublement soulignées.

Deux équilibres de Nash en stratégies pures, donc : (Moyenne, Moyenne) qui rapporte $(4, 4)$ et (Faible, Faible) qui rapporte $(3, 3)$. Remarque au passage qu'aucune stratégie n'est barrée : aucune n'est strictement dominée, ce qui est précisément pourquoi il fallait passer par les meilleures réponses.

Le faire faire par la machine

La méthode est mécanique, donc programmable. Le code ci-dessous prend n'importe quelle matrice et en sort les stratégies dominées, les meilleures réponses et les équilibres. Remplace MATRICE par celle de ton devoir et relance : tu obtiendras de quoi vérifier ton propre soulignage.

Jeux à somme nulle

Un jeu est à somme nulle quand ce que l'un gagne, l'autre le perd : gain_A + gain_B = 0 dans chaque case. On n'écrit alors qu'un seul nombre par case, celui du joueur des lignes.

Le joueur des lignes raisonne en maximin : pour chaque ligne il regarde son pire cas, puis choisit la ligne dont le pire cas est le meilleur. Le joueur des colonnes raisonne symétriquement en minimax. Quand les deux valeurs coïncident, la case correspondante est un point selle : c'est l'équilibre de Nash du jeu, et la valeur commune est la valeur du jeu.

Maximin $= 1$, minimax $= 1$ : la case $(A2, B2)$ est un point selle, et la valeur du jeu vaut 1. Une seule valeur par case suffit ici, puisque le gain de B est l'opposé de celui de A.

Retour au fil rouge : décider sous incertitude

Reprenons la matrice de Marc et Nicole. Les gains dépendent de $p$, donc l'équilibre aussi. Il faut discuter.

Les meilleures réponses de Marc. Si Nicole joue $y = 50$, les deux lignes lui donnent $150p - 50$ : il est indifférent. Si Nicole joue $y = 70$, il compare $150p - 70$ (louer à 70) à $-150p$ (pas de location) :

150p − 70 ≥ −150p ⟺ 300p ≥ 70 ⟺ p ≥ 7/30 ≈ 0,23

Les meilleures réponses de Nicole. Face à $x = 50$, elle compare $50 - 55p$ à 0 : elle accepte tant que $p \leq 10/11 \approx 0{,}91$. Face à $x = 70$, elle compare $50 - 55p$ à 15 : elle accepte tant que $p \leq 7/11 \approx 0{,}64$.

Croisons tout ça :

• $p \leq 7/11$ : Nicole accepte 50 dans les deux cas. Comme Marc est indifférent face à $y = 50$, les équilibres sont $(50, 50)$ et $(70, 50)$, mais ils donnent le même résultat concret : location à 50 k€ ;
• $7/11 < p \leq 10/11$ : deux équilibres, $(50, 50)$ et $(70, 70)$. Le risque est devenu assez élevé pour que Nicole tienne bon face à un Marc qui demande 70 ;
• $p > 10/11$ : la panne est quasi certaine, Nicole n'a plus aucune raison de céder. Équilibre unique $(70, 70)$.

Le code ci-dessous construit la matrice et cherche les équilibres pour un $p$ donné. Change la valeur de $p$ et relance.

Et voici la lecture graphique : l'espérance de gain de Marc, selon $p$, pour chacune de ses deux stratégies face à une Nicole qui insiste sur 70.

Les deux droites se croisent en $p = 7/30$. À gauche, Marc préfère renoncer à la location ; à droite, il préfère payer 70 k€.

Stratégies mixtes

Que se passe-t-il quand il n'y a pas d'équilibre en stratégies pures ? Personne ne peut se permettre d'être prévisible : il faut tirer au sort sa stratégie.

Le calcul repose sur une observation qui surprend toujours :

Reprends la seconde matrice des fournisseurs. La stratégie Élevée est strictement dominée par Moyenne pour les deux joueurs ($3 > 2$, $4 > 1$, $2 > 0$) : on l'élimine. Il reste un jeu 2 × 2 :

Soit $q$ la probabilité que A joue Moyenne. Pour que B soit indifférent :

• gain de B s'il joue Moyenne : $4q + 2(1 - q) = 2 + 2q$
• gain de B s'il joue Faible : $3q + 3(1 - q) = 3$

2 + 2q = 3 ⟺ q = 1/2. Par symétrie du tableau, B joue Moyenne avec la probabilité $1/2$ également, et chacun obtient une espérance de 3.

Ce jeu a donc trois équilibres : deux purs et un mixte. C'est un résultat général, le théorème de Nash garantit qu'un jeu fini possède toujours au moins un équilibre, éventuellement en stratégies mixtes.

Jeux séquentiels et information incomplète

Tout ce qui précède suppose des décisions simultanées. Si Nicole voit la proposition de Marc avant de répondre, le jeu devient séquentiel et s'écrit sous forme d'arbre.

                        Marc
                      /      \
              x = 50 /        \ x = 70
                    /          \
                Nicole        Nicole
                /    \        /    \
        y=50   /      \ y=70 /      \ y=70
              /        \    / y=50   \
        (150p-50,    (-150p, (150p-50, (150p-70,
         50-55p)        0)    50-55p)     15)

On le résout par induction à rebours (backward induction) : on part des feuilles, on détermine ce que fait le dernier joueur à décider dans chaque branche, puis on remonte en remplaçant chaque nœud par le gain qui en résulte.

Un jeu est à information incomplète quand un joueur ignore une donnée du problème : typiquement les gains de l'autre. On modélise alors l'ignorance par une probabilité sur les « types » possibles de l'adversaire, et on cherche un équilibre bayésien : chaque joueur joue une meilleure réponse en espérance sur les types de l'autre. Le bloc s'arrête au principe ; retiens que l'incertitude sur les gains de l'autre se traite comme l'incertitude sur la météo, par une espérance.

Exercices type

La méthode

1. Identifie les joueurs et leurs stratégies avant tout calcul. Deux joueurs, deux ou trois stratégies chacun : le tableau doit tenir sur trois lignes.
2. Choisis une référence pour les gains et écris-la. Tous les gains s'y rapportent, sans exception.
3. Écris l'espérance case par case quand il y a du hasard, en séparant explicitement les scénarios ($p$ et $1 - p$).
4. Cherche les stratégies dominées en premier : chaque élimination divise la taille du problème.
5. Souligne les meilleures réponses, colonne par colonne pour les lignes, ligne par ligne pour les colonnes. Les cases doublement soulignées sont les équilibres.
6. Discute selon le paramètre s'il y en a un : écris les inégalités, résous-les, et donne les intervalles de $p$ avec l'équilibre correspondant.
7. Conclus en français. « L'équilibre est $(70, 70)$ » ne vaut rien sans « c'est-à-dire que Nicole tient bon et que Marc paie le prix fort, parce que le risque de panne le prive de sa marge de négociation ».

En résumé

• Un jeu = joueurs + stratégies + gains. On y entre dès que le gain de l'un dépend du choix d'un autre.
• La matrice des gains s'écrit (gain ligne, gain colonne). Construire cette matrice est 80 % du travail.
• Un gain se mesure par rapport à une référence explicite, la même dans toutes les cases.
• Une stratégie dominante rapporte plus quel que soit l'adversaire : on élimine les dominées d'abord.
• Équilibre de Nash : personne ne gagne à dévier seul. Méthode des soulignements, systématique.
• Un équilibre n'est ni unique, ni forcément bon pour les joueurs (dilemme du prisonnier).
• Somme nulle : maximin = minimax ⟹ point selle, et cette valeur commune est la valeur du jeu.
• Sous incertitude, les gains deviennent des espérances et l'équilibre se discute selon $p$.
• Stratégies mixtes : on choisit ses probabilités pour rendre l'adversaire indifférent. Il en existe toujours un (théorème de Nash).
• Jeu séquentiel : arbre + induction à rebours, en partant des feuilles.

Et ensuite ? L'équilibre du fil rouge dépend entièrement de $p$, qu'on a supposé connu. Le chapitre suivant montre comment on l'obtient vraiment : par les lois de probabilité discrètes appliquées à l'analyse de risque.