Trouver deux restes de division, puis la somme et le produit des racines, sans effectuer une seule division.

Le théorème du reste transforme une division en une évaluation : diviser par $x - a$ laisse pour reste le nombre $P(a)$.

Les relations entre coefficients et racines relient, pour $x^3 + bx^2 + cx + d$, la somme des racines à $-b$, la somme des produits deux à deux à $c$, et le produit des racines à $-d$.

Le signe se retourne deux fois : une fois pour la somme, une fois pour le produit. Écrire les relations avant de remplacer évite de les confondre.

Un reste nul n'est pas un échec de calcul : c'est l'information la plus utile de l'exercice, puisqu'il désigne une racine.