Vérifier les deux identités du chapitre sur ces exemples, puis calculer un laplacien.

Les deux identités s'écrivent $\operatorname{rot}(\operatorname{grad} f) = \vec{0}$ et $\operatorname{div}(\operatorname{rot} \vec{F}) = 0$. Elles tiennent à la symétrie des dérivées secondes : dériver selon $x$ puis $y$ ou l'inverse donne le même résultat.

Le laplacien d'un champ scalaire est la somme de ses dérivées secondes selon chaque variable.

Ces identités sont vraies quel que soit le champ, ce qui en fait un contrôle utile : un rotationnel de gradient non nul signale une erreur de calcul, jamais une propriété du champ.

Le laplacien ici ne dépend d'aucun point, ce qui est particulier à cette fonction et n'a rien de général.